Функтор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Функтор — відображення однієї категорії в іншу, узгоджене із структурою категорій. Функтори були вперше введені в алгебраїчній топології, де алгебраїчні структури пов'язуються з топологічними просторами, а їхні гомоморфізми — з неперервними відображеннями. В наш час[Коли?] функтори використовуються в багатьох розділах математики для встановлення зв'язків між різними категоріями. Термін «функтор» був взятий математиками з робіт філософа Р. Карнапа.

Визначення[ред.ред. код]

Одномісним коваріантним функтором з категорії у категорію , називається пара відображень що позначаються звичайно однією і тією ж буквою, наприклад F , та задовольняють умовам:

  1. для кожного ;
  2. для будь-яких морфізмів і .

Функтор з категорії , двоїстої категорії , у категорію називається одномісним контраваріантним функтором з у . Таким чином для контраваріантного функтора як і раніше повинна виконуватися умова 1), а замість умови 2) — умова 2*) для будь-яких морфізмів .

n-містним функтором з категорій в категорію , коваріантним по аргументах і контраваріантним по решті аргументів, називається функтор з декартового добутку категорій у категорію , де при і при інших i. Двомісні функтори, коваріантні по обох аргументах, називаються біфункторами.

Приклади[ред.ред. код]

  1. Функтор , що відображає кожен об'єкт категорії в деякий фіксований об'єкт X категорії , а кожен морфізм категорії в одиничний морфізм на об'єкті X називавається сталим функтором.
  2. Тотожне відображення довільної категорії в себе є одномісним коваріантним функтором, який називається тотожним функтором категорії і позначається .
  3. Нехай  — довільна категорія  — категорія множин, А — фіксований об'єкт з . Зіставлення кожному множини і кожному морфізму відображення , де для кожного , є функтором з у . Цей функтор називається основним коваріантним функтором з у з представляючим об'єктом А. За допомогою двоїстості визначається контраваріантний функтор з у з представляючим об'єктом А. Ці функтори позначаються і відповідно. Якщо  — категорія векторних просторів над полем K, то функтор задає перехід від простору Е до простору лінійних функціоналів Е*. У категорії топологічних абелевих груп функтор , де Q — факторгрупа групи дійсних чисел по підгрупі цілих чисел, зіставляє кожній групі її групу характерів.

У будь-якій категорії зі скінченними добутками, добуток можна розглядати як n-місний функтор, коваріантний по всіх аргументах, при будь-якому натуральному n. Як правило, конструкції, що визначаються для будь-якого об'єкта категорії або для будь-якої послідовності об'єктів фіксованої довжини незалежно від індивідуальних властивостей об'єктів, є функторами. Такі, наприклад, конструкція вільних алгебр деякого многовиду універсальних алгебр, що однозначно зіставляються кожному об'єктові категорії множин, конструкція фундаментальної групи топологічного простору, конструкції груп гомології і когомології різних розмірностей і т. д.

Будь-який функтор визначає відображення кожної множини в множину зіставляючи морфізму морфізм . функтор F називається унівалентним, якщо всі вказані відображення ін'єктивні, і повним, якщо всі ці відображення сюр'єктивні.

Література[ред.ред. код]

  • Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1985.
  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
  • И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.