Проєктивна границя

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Проєктивна границя (обернена границя) — конструкція, що використовується в різних розділах математики яка дозволяє побудувати новий об'єкт через множину однотипних об'єктів які є проіндексовані деякою напрямленою множиною і набору відображень , . Проєктивні границі є одним із видів границі в теорії категорій. Для проєктивної границі зазвичай використовуються наступні позначення:

,
.

Проєктивну границю можна визначити в довільній категорії. Двоїсте поняття — індуктивна границя.

Означення

Алгебричні структури

Для алгебричних систем можна дати відносно просте означення проєктивної границі. Нехай частково впорядкована множина (наприклад, множина цілих чисел) і для кожного елемента задана деяка алгебрична система з будь-якого фіксованого класу (наприклад, абелевих груп, модулів над заданим кільцем), а кожній парі , такій що , гомоморфізм , причому тотожні відображення для будь-якого і для будь-яких з . Тоді проєктивна границя є за означенням підсистемою прямого добутку виду:

.

Існують канонічні проєкції , які вибирають -у компоненту прямого добутку для кожного . Ці проєкції повинні бути гомоморфізмами, виходячи з цього можна ввести додаткову алгебричну структуру на проєктивній границі.

Загальний випадок

У довільній категорії проєктивну границю можна описати за допомогою її універсальної властивості. Нехай — сімейство об'єктів і морфізмів категорії C, яке задовольняє тим же вимогам, що і в попередньому пункті. Тоді називається проєктивною границею системи , або , якщо виконані наступні умови:

  1. Існує таке сімейство відображень , що для будь-яких ;
  2. Для будь-якого сімейства відображень , довільної множини , для якої виконані рівності для будь-яких , існує єдине відображення , для якого , для всіх .

Більш загально, проєктивна границя — границя в категорному сенсі системи .

Приклади

  • Цілі -адичні числа є проєктивною границею послідовності з природними відображеннями виду отримання залишку при .
  • Кільце формальних степеневих рядів над комутативним кільцем є проєктивною границею кілець , індексованих натуральними числами, з природними проєкціями .
  • Множина Кантора є гомеоморфною проєктивній границі добутків двоточкових множин (з дискретною топологією) з проєкціями на перші кілька координат як відображень.
  • В категорії топологічних просторів проєктивні границі задаються ініціальною топологією на відповідній множині-носії.

Див. також

Література

  • Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Springer, ISBN 978-3-540-64243-5, OCLC 40551484
  • Bourbaki, Nicolas (1989), General topology: Chapters 1-4, Springer, ISBN 978-3-540-64241-1, OCLC 40551485
  • Mac Lane, Saunders (September 1998), Categories for the Working Mathematician (вид. 2nd), Springer, ISBN 0-387-98403-8