Проєктивна границя

Проєктивна границя (обернена границя) — конструкція, що використовується в різних розділах математики яка дозволяє побудувати новий об'єкт $X$ через множину однотипних об'єктів $X_{i},$ які є проіндексовані деякою напрямленою множиною і набору відображень $f_{ij}:X_{j}\to X_{i}$, $i\leqslant j$. Проєктивні границі є одним із видів границі в теорії категорій. Для проєктивної границі зазвичай використовуються наступні позначення:

$X=\varprojlim X_{i}$,

$X=\projlim X_{i}$.

Проєктивну границю можна визначити в довільній категорії. Двоїсте поняття — індуктивна границя.

Означення

Алгебричні структури

Для алгебричних систем можна дати відносно просте означення проєктивної границі. Нехай $I$ — частково впорядкована множина $\leqslant$ (наприклад, множина цілих чисел) і для кожного елемента $i\in I$ задана деяка алгебрична система $X_{i}$ з будь-якого фіксованого класу (наприклад, абелевих груп, модулів над заданим кільцем), а кожній парі $(i,\;j)$, такій що $i,\;j\in I$, $i\leqslant j$ — гомоморфізм $f_{ij}:X_{j}\to X_{i}$, причому $f_{ii}$ — тотожні відображення для будь-якого $i\in I$ і $f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}$ для будь-яких $i\leqslant j\leqslant k$ з $I$. Тоді проєктивна границя $X$ є за означенням підсистемою прямого добутку $X_{i}$ виду:

$\varprojlim X_{i}={\bigg \{}(x_{i})\in \prod _{i\in I}X_{i}\mid x_{i}=f_{ij}(x_{j})\forall i\leqslant j{\bigg \}}$.

Існують канонічні проєкції $\pi _{i}:X\to X_{i}$, які вибирають $i$-у компоненту прямого добутку для кожного $i\in I$. Ці проєкції повинні бути гомоморфізмами, виходячи з цього можна ввести додаткову алгебричну структуру на проєктивній границі.

Загальний випадок

У довільній категорії проєктивну границю можна описати за допомогою її універсальної властивості. Нехай $(X_{i},f_{ij})$ — сімейство об'єктів і морфізмів категорії C, яке задовольняє тим же вимогам, що і в попередньому пункті. Тоді $X$ називається проєктивною границею системи $(X_{i},f_{ij})$, або $X=\varprojlim X_{i}$, якщо виконані наступні умови:

1. Існує таке сімейство відображень $\pi _{i}:X\to X_{i}$, що $\pi _{i}=f_{ij}\circ \pi _{j}$ для будь-яких $i\leqslant j$;
2. Для будь-якого сімейства відображень $\psi _{i}:Y\to X_{i}$, довільної множини $Y$, для якої виконані рівності $\psi _{i}=f_{ij}\circ \psi _{j}$ для будь-яких $i\leqslant j$, існує єдине відображення $u:Y\to X$, для якого $\psi _{i}=\pi _{i}\circ u$ , для всіх $i\in I$.

Більш загально, проєктивна границя — границя в категорному сенсі системи $(X_{i},f_{ij})$.

Приклади

• Цілі $p$-адичні числа є проєктивною границею послідовності $\mathbb {Z} _{p^{n}}$ з природними відображеннями виду отримання залишку $\mathbb {Z} _{p^{n}}\to \mathbb {Z} _{p^{m}}$ при $n\geqslant m$.
• Кільце $\textstyle R[[t]]$ формальних степеневих рядів над комутативним кільцем $R$ є проєктивною границею кілець $\textstyle R[t]/t^{n}R[t]$, індексованих натуральними числами, з природними проєкціями $\textstyle R[t]/t^{n+j}R[t]\to \textstyle R[t]/t^{n}R[t]$.
• Множина Кантора є гомеоморфною проєктивній границі добутків двоточкових множин (з дискретною топологією) з проєкціями на перші кілька координат як відображень.
• В категорії топологічних просторів проєктивні границі задаються ініціальною топологією на відповідній множині-носії.

Див. також

• Індуктивна границя
• Залишково скінченна група

Література

• Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Springer, ISBN 978-3-540-64243-5, OCLC 40551484
• Bourbaki, Nicolas (1989), General topology: Chapters 1-4, Springer, ISBN 978-3-540-64241-1, OCLC 40551485
• Mac Lane, Saunders (September 1998), Categories for the Working Mathematician (вид. 2nd), Springer, ISBN 0-387-98403-8