Тотожність Бохнера

Тотожність Бохнера — загальна назва сімейства тотожностей у рімановій геометрії, що пов'язують лапласіани різних типів і кривину. Тотожності, одержувані інтегруванням тотожності Бохнера, іноді називають тотожностями Рейлі.

Формулювання

Нехай $S$ — розшарування Дірака над рімановим многовидом $M$, $D$ — відповідний оператор Дірака, і тоді

$D^{2}\phi =\nabla ^{*}\nabla \phi +{\mathfrak {R}}(\phi )$

для будь-якого перерізу $\phi \colon M\to S$.

Позначення

Далі $e_{i}$ позначає ортонормований репер у точці.

• $\nabla$ позначає зв'язність на $S$, і

  $\nabla ^{*}\nabla \phi =-\sum _{i}\nabla _{e_{i}}\nabla _{e_{i}}\phi ,$

так званий лапласіан за зв'язністю.

• ${\mathfrak {R}}$ — переріз $\mathrm {Hom} (S,S)$, що визначається як

  ${\mathfrak {R}}(\phi )={\tfrac {1}{2}}\cdot \sum _{i,j}e_{i}.e_{j}.R_{e_{i},e_{k}}\phi ,$

де «$.$» позначає множення Кліфорда, і

$R_{X,Y}=\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}$

 — перетворення кривини.

• $D$ — оператор Дірака на $S$, тобто

  $D\phi =\sum _{i}e_{i}.\nabla _{e_{i}}\phi .$

і $D^{2}\phi =\Delta \phi$ лапласіан Ходжа на диференціальних формах

Наслідки

• З тотожності Бохнера для градієнта функції $u$ отримуємо таку інтегральну формулу для будь-якого замкнутого многовиду

  $\int \limits _{M}|\Delta u|^{2}-\int \limits _{M}|\mathrm {Hess} \,u|^{2}=\int \limits _{M}{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)$,

де $\mathrm {Hess} \,u$ позначає гесіан $u$.

• Якщо $u\colon M\rightarrow \mathbb {R}$ — гармонічна функція, то

  $\Delta ({\tfrac {1}{2}}\cdot |\nabla u|^{2})=|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)$,

де $\nabla u$ позначає градієнт $u$. Зокрема:

• Компактні многовиди з додатною кривиною Річчі не допускають ненульових гармонічних функцій.
• Якщо $u$ — гармонічна функція на многовиді з додатною кривиною Річчі, то функція $|\nabla u|$ субгармонічна.

• З формули Бохнера випливає, що на компактних многовидах з додатним оператором кривини відсутні гармонічні форми будь-якого степеня, тобто воно є раціонально гомологічною сферою.
  • Іншим методом, а саме потоком Річчі, вдалося довести що будь-який з таких многовидів дифеоморфний фактору сфери за скінченною групою.

Література

• H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. Spin geometry. — 1989.