Лінійчата поверхня

Перевірена версія цієї сторінки, затверджена 5 січня 2022, заснована на цій версії.

В диференціальній геометрії, Лінійчата поверхня — поверхня, утворена рухом прямої лінії. Прямі, що належать цій поверхні, називаються прямолінійними твірними, а кожна крива, що перетинає всі прямолінійні твірні називається напрямною кривою. Якщо $p(u)$ — радіус-вектор напрямної, a $m=m(v)$ — одиничний вектор твірної, що проходить через $p(u)$ , то радіус-вектор лінійчатої поверхні є

r=p(u)+vm(u),

де $v$ — координата точки на твірній.

Властивості

Лінійчата поверхня характеризується тим, що її асимптотична мережа — напівгеодезична.
Теорема Бельтрамі. Лінійчату поверхню завжди можна і до того ж єдиним чином зігнути так, що довільна лінія на ній стане асимптотичною.
Теорема Бонні. Якщо лінійчата поверхня $F$ , що не розгортається, згинається в лінійчату поверхню $F'$ , то або їх твірні відповідають одна одній, або обидві вони вигинаються в квадрику, на якій мережа, що відповідає сімействам твірних — асимптотична.
Єдина мінімальна лінійчата поверхня — гелікоїд.
Лінійчата поверхня обертання — однопорожнинний гіперболоїд, який може вироджуватись в циліндр, конус або площину.
Якщо всі прямолінійні твірні лінійчатої поверхні паралельні одній площині, то вона є поверхнею Каталана.