Лінійчата поверхня

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Лінійчатий гелікоїд
Лінійчатий гіперболоїд

В диференціальній геометрії, Лінійчата поверхня — поверхня, утворена рухом прямої лінії. Прямі, що належать цій поверхні, називаються прямолінійними твірними, а кожна крива, що перетинає всі прямолінійні твірні називається напрямною кривою. Якщо  — радіус-вектор напрямної, a  — одиничний вектор твірної, що проходить через , то радіус-вектор лінійчатої поверхні є

де  — координата точки на твірній.

Властивості[ред.ред. код]

  • Лінійчата поверхня характеризується тим, що її асимптотична мережа — напівгеодезична.
  • Теорема Бельтрамі. Лінійчату поверхню завжди можна і до того ж єдиним чином зігнути так, що довільна лінія на ній стане асимптотичною.
  • Теорема Бонні. Якщо лінійчата поверхня , що не розгортається, згинається в лінійчату поверхню , то або їх твірні відповідають одна одній, або обидві вони вигинаються в квадрику, на якій мережа, що відповідає сімействам твірних — асимптотична.
  • Єдина мінімальна лінійчата поверхня — гелікоїд.
  • Лінійчата поверхня обертання — однопорожнинний гіперболоїд, який може вироджуватись в циліндр, конус або площину.
  • Якщо всі прямолінійні твірні лінійчатої поверхні паралельні одній площині, то вона є поверхнею Каталана.

Див. також[ред.ред. код]