Лінійчата поверхня

Лінійчатий гелікоїд

Лінійчатий гіперболоїд

Лінійчата поверхня — поверхня, утворена неперервним рухом прямої лінії.

Прямі, що належать цій поверхні, називаються прямолінійними твірними, а кожна крива, що перетинає всі прямолінійні твірні називається напрямною кривою.

Якщо $p(u)$ — радіус-вектор напрямної, a $m=m(u)$ — одиничний вектор твірної, що проходить через $p(u)$ , то радіус-вектор лінійчатої поверхні є

$r=p(u)+vm(u),$

де $v$ — координата точки на твірній.

Еквівалентно можна записати

$r=(1-v)p(u)+vq(u),$

де $p(u),q(u)$ — радіус-вектори двох кривих, а $v$  параметризує пряму, що проходить через дві точки.

В диференціальній геометрії, розглядаються поверхні для яких $p(u)$ і $m(u)$ є диференційовними певного класу . Відповідне зображення $r(u,v)$ тоді теж буде диференційовним. Його образ буде визначати деяку поверхню із самоперетинами і виродженими точками.

Оскільки часткові похідні $r_{u}=p_{u}+vm_{u},\ r_{v}=m$, то відображення буде імерсією, якщо вектори $p_{u}+vm_{u}$ і $m$ будуть лінійно незалежними для всіх $u$ і $v$. Тоді відповідна поверхня буде імерсійною диференційовною поверхнею.

Іноді в означенні задається імерсійна поверхня у тривимірному евклідовому просторі і вимагається щоб через кожну точку поверхні проходила пряма, що повністю лежить на поверхні і додатково напрямні одиничні вектори цих прямих утворювали (диференційовне) векторне поле у деякому околі вказаної точки (у її топології).

Приклади

Прямий круговий циліндр

Циліндр і конус, як лінійчасті поверхні

Координати точок прямого кругового циліндра задовольняють рівняння:

$x^{2}+y^{2}=a^{2}.$

Параметрично ця поверхня задається як

$\mathbf {r} (u,v)=(a\cos u,a\sin u,v)$

$=(a\cos u,a\sin u,0)+v(0,0,1)$

$=(1-v)(a\cos u,a\sin u,0)+v(a\cos u,a\sin u,1).$

Циліндр є лінійчатою поверхнею для якої:

$\mathbf {p} (u)=(a\cos u,a\sin u,0),$

$\mathbf {m} (u)=(0,0,1),$

$\mathbf {q} (u)=(a\cos u,a\sin u,1).$

Прямий круговий конус

Координати точок прямого кругового конуса задовольняють рівняння:

$x^{2}+y^{2}=z^{2}.$

Параметрично ця поверхня задається як

$\mathbf {r} (u,v)=(\cos u,\sin u,1)+v(\cos u,\sin u,1)$

$=(1-v)(\cos u,\sin u,1)+v(2\cos u,2\sin u,2).$

Конус є лінійчатою поверхнею для якої:

$\mathbf {p} (u)=(\cos u,\sin u,1),$

$\mathbf {m} (u)=(\cos u,\sin u,1),$

$\mathbf {q} (u)=(2\cos u,2\sin u,2).$

У цьому випадку як напрямну криву можна також взяти вершину конуса:

$\mathbf {p} (u)=(0,0,0)$

і як прямолінійні твірні вектори:

$\mathbf {m} (u)=(\cos u,\sin u,1).$

Цей приклад показує, що напрямна крива може навіть виродитися у точку. Обидві параметризації є імерсіями в усіх точках, окрім точки, що відповідає вершині конуса.

Гелікоїд

Гелікоїд

Параметрично гелікоїд можна подати як:

$\mathbf {r} (u,v)=(v\cos u,v\sin u,ku)$

$=(0,0,ku)+v(\cos u,\sin u,0)$

$=(1-v)(0,0,ku)+v(\cos u,\sin u,ku).$

Напрямною кривою у цьому випадку буде параметризація осі z:

$\mathbf {p} (u)=(0,0,ku),$

а прямолінійними твірними вектори

$\mathbf {m} (u)=(\cos u,\sin u,0).$

Іншою напрямною кривою є гвинтова лінія:

$\mathbf {q} (u)=(\cos u,\sin u,ku).$

Гіперболоїди

Для гіперболоїдів можна записати параметричне рівняння за допомогою двох горизонтальних напрямних кривих:

$\mathbf {r} (u,v)=(1-v)(\cos(u-\varphi ),\sin(u-\varphi ),-1)+v(\cos(u+\varphi ),\sin(u+\varphi ),1).$

Гіперболоїд як лінійчата поверхня

Гіперболоїди, конус, циліндр для різних значень $\varphi$

Параметр кута $\varphi$ задає різні види поверхонь

для $\varphi =0$ одержується циліндр,

для $\varphi =\pi /2$ одержується конус,

для $0<\varphi <\pi /2$ одержується однопорожнинний гіперболоїд, що задається рівнянням ${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$, де $a=\cos \varphi ,\ c=\cot \varphi$.

Гіперболічний параболоїд

Гіперболічний параболоїд

Гіперболічний параболоїд задовольняє рівняння $z=xy$.

Параметризацію параболічного гіперболоїда як лінійчастої поверхні можна задати у формі через дві напрямні криві.

Якщо дві напрямні криві є прямими:

$\mathbf {p} (u)=(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2},\quad \mathbf {q} (u)=(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}$

то параметрично гіперболічний параболоїд можна записати як:

$\mathbf {r} (u,v)=(1-v){\big (}(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2}{\big )}+v{\big (}(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}{\big )}$,

Конкретна поверхня залежить від 4 точок $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2}$.

На малюнку показаний гіперболічний параболоїд для точок

$\mathbf {a} _{1}=(0,0,0),\;\mathbf {a} _{2}=(1,0,0),\;\mathbf {b} _{1}=(0,1,0),\;\mathbf {b} _{2}=(1,1,1).$

Стрічка Мебіуса

Стрічка Мебіуса

Лінійчата поверхня, що визначається за допомогою параметричного рівняння:

$\mathbf {r} (u,v)=\mathbf {p} (u)+v\mathbf {m} (u)$

є стрічкою Мебіуса.

Напрямною кривою є коло:

$\mathbf {m} (u)=(\cos 2u,\sin 2u,0),\quad 0\leqslant u<\pi ,$

а прямолінійні твірні є векторами::

$\mathbf {r} (u)=(\cos u\cos 2u,\cos u\sin 2u,\sin u)\quad 0\leq u<\pi .$

Властивості

Тригранники Френе, кривини і центральні точки

Нехай поверхня є імерсійною гладкою поверхнею і через кожну її точку $e$ проходить пряма, що повністю лежить на поверхні. Нехай додатково в деякому околі (в топології імерсивної поверхні) точки $e$ напрямні одиничні вектори таких прямих утворюють гладке векторне поле $X.$ Зокрема параметрично задані лінійчасті поверхні задані за допомогою гладких $p(u)$ і $m(u)$, для яких $r(u,v)$ є імерсією у кожній точці є таким прикладом.

В деякому околі точки $e$ також існує векторне поле $T,$ що є ортогональним до $X$ в кожній точці околу. Нехай також $N$ позначає нормальне до поверхні поле у точках околу.

Вздовж відрізка прямолінійної твірної, що міститься в околі векторне поле $X$ є константою, а $N$ належить площині ортогональній до цього значення. Якщо $l(t):(-\varepsilon ,\varepsilon )\to \mathbb {R} ^{3}$ є стандартною параметризацією прямолінійної твірної, що проходить через $a$ (і $e=l(0)$), то $d_{e}N(X)=N'(0)$ належить площині ортогональній до $X$, тобто скалярний добуток $(d_{e}N(X),X)=0.$ Тут $d_{e}N$ позначає відображення Вейнгартена у точці $e$ і $N'(0)$ є похідною у точці 0 векторної функції $N(t):=N(l(t)).$

Відповідно гаусова кривина:

$K(e)=(d_{e}N(X),X)(d_{e}N(T),T)-(d_{e}N(X),T)^{2}=-(d_{e}N(X),T)^{2}<0.$

Це дає одну з основних властивостей диференційовних лінійчастих кривих:

• Гаусові кривини у кожній точці лінійчатої диференціальної поверхні є недодатними числами.

Якщо $N$ є константою на прямолінійній твірній (еквівалентно, всі дотичні площини вздовж прямолінійної твірної є паралельними), то також $d_{e}N(X)=0$ і $K(e)=0$ в кожній точці цієї прямої. Якщо ці властивості виконуються для кожної прямолінійної твірної, то $K=0$ всюди на поверхні і поверхня розгортається. Більш конкретно:

• Замкнута поверхня без границі у тривимірному просторі розгортається тоді і тільки тоді, коли вона є лінійчатою і дотичні площини вздовж будь-якої прямолінійної твірної є паралельними.

Якщо $p(u):(-\varepsilon ,\varepsilon )\to \mathbb {R} ^{3}$ є інтегральною кривою для векторного поля $T$ (де $e=p(0)$), то:

$r=p(u)+vm(u),\ u\in (-\varepsilon ,\varepsilon ),v\in \mathbb {R}$

є параметризацією частини поверхні.

Векторні поля $T(u),X(u),N(u)$ утворюють ортонормовану систему у кожній точці кривої $p(u)$, тобто тригранник Френе. Відповідно існують дійсні функції $a(u),b(u),c(u)$ для яких:

$T'=aX+bN,\ \ X'=-aT+cN,\ \ N'=-bT-cX.$

Для деякого конкретного параметра $t$ одержується крива (можливо із перетинами):

$p^{t}(u)=p(u)+tX(u)$

із дотичним полем:

$Z^{t}=T+tX'=(1-at)T+tcN.$

Вектори $Z$ і $X$ у кожній точці утворюють ортогональний базис дотичного простору. Вздовж прямолінійної твірної $X$ є константою і дотичні площини є паралельними тоді і лише тоді, коли і $Z$ залишається незмінним, тобто коли $c=0$.

Із цих результатів випливають ще дві характеристики поверхні, що розгортається. Лінійчаста поверхня є поверхнею, що розгортається, якщо для кожної її точки і кривої визначеної як вище функція $c(u)=0$ вздовж кривої; еквівалентно векторне поле $X'(u)$ вздовж кривої, визначене, як вище, є дотичним до поверхні.

Для облислення кривини у точці $p^{t}(u_{0})=p(u_{0})+tX(u_{0})$ варто зазначити, що $p_{u}(u_{0},t)=Z^{t}(u_{0})$ і $p_{v}(u_{0},t)=X(u_{0}).$ Далі

$p_{uv}(u_{0},t)=p_{vu}(u_{0},t)=X'(u_{0})=-a(u_{0})T(u_{0})+c(u_{0})N(u_{0})$

і

$p_{vv}(u_{0},t)=0.$

Також нормальний вектор $N^{t}(u_{0}):=N(p^{t}(u_{0}))$ є рівним ${\textstyle {\frac {Z^{t}(u_{0})\times X(u_{0})}{|Z^{t}|}}.}$

Із стандартних формул для кривини:

$K(p^{t}(u_{0}))={\frac {-(N^{t}(u_{0}),X'(u_{0}))^{2}}{|Z^{t}(u_{0})|^{2}}}={\frac {-(Z^{t}(u_{0})\times X(u_{0}),-a(u_{0})T(u_{0})+c(u_{0})N(u_{0}))^{2}}{|Z^{t}(u_{0})|^{4}}}.$

Але із властивостей скалярних, векторних і змішаних добутків:

$(Z^{t}(u_{0}),X(u_{0}),a(u_{0})T(u_{0}))=-a(u_{0})c(u_{0})t$

i

$-(Z^{t}(u_{0}),X(u_{0}),c(u_{0})N(u_{0}))=(a(u_{0})t-1)c(u_{0}).$

Також:

$|Z^{t}(u_{0})|^{2}=1-2a(u_{0})t+a^{2}(u_{0})t^{2}+c^{2}(u_{0})t^{2}.$

Підставляючи ці обчислення у формулу кривини, остаточно:

$K(p^{t}(u_{0}))={\frac {-c^{2}(u_{0})}{(1-2a(u_{0})t+a^{2}(u_{0})t^{2}+c^{2}(u_{0})t^{2})^{2}}}.$

Нехай для попередньої параметризації $c(u)\neq 0.$ Для двох прямолінійних твірних, що відповідають параметрам $u_{1},u_{2}$ у параметризації вище відстань по кривій $p_{t}(u)$ є рівною:

$\int _{u_{1}}^{u_{2}}|Z^{t}(u)|du=\int _{u_{1}}^{u_{2}}{\sqrt {1-2a(u)t+a^{2}(u)t^{2}+c^{2}(u)t^{2}}}du.$

Прирівнявши до нуля похідну підінтегрального виразу одержується рівність:

$(a^{2}(u)+c^{2}(u))t=a(u)$

Відповідно для параметра $u_{1}$ для близьких $u_{2}$ відстань мінімізується для параметра ${\textstyle t={\frac {a(u_{1})}{a^{2}(u_{1})+c^{2}(u_{1})}}.}$

Цей параметр задає точку у якій відповідна крива $p_{t}(u_{1})$ є ортогональною до вектора $X'(u_{1}).$ Дійсно скалярний добуток у загальному є рівним:

$(X',Z_{t})=(-aT+cN,(1-at)T+tcN).$

Він є рівним нулю для ${\textstyle t={\frac {a(u_{1})}{a^{2}(u_{1})+c^{2}(u_{1})}}.}$

З явного виразу для гаусової кривини також випливає, що у точці ${\textstyle t={\frac {a(u_{1})}{a^{2}(u_{1})+c^{2}(u_{1})}}}$ значення цієї кривини є найбільшим (найменшим за модулем) і рівним ${\textstyle -{\frac {(a^{2}+c^{2})^{2}}{c^{2}}}.}$ Звідси випливає, що точка ${\textstyle p(u_{1})+{\frac {a(u_{1})}{a^{2}(u_{1})+c^{2}(u_{1})}}X(u_{1})}$ є однозначно визначеною для прямолінійної твірної і не залежить від початкового вибору точки і ортогональної кривої.

Ця точка називається центральною точкою відповідної твірної. Множина таких точок утворює криву, що називається кривою стрикції. Значення ${\textstyle \lambda (u_{1})={\frac {c(u_{1})}{a^{2}(u_{1})+c^{2}(u_{1})}},}$ яке теж залежить лише від прямолінійної твірної, називається параметром розподілу.

Якщо на самому початку за точку $e$ обрати центральну точку, то вектор $X'$ буде нормальним до дотичної площини для $t=0$ і тоді $a=0$, відповідно ${\textstyle \lambda ={\frac {1}{c}}}$ і ${\textstyle K(u,t)={\frac {-\lambda ^{2}}{(\lambda ^{2}+t^{2})^{2}}}.}$ Симетричність у точках твірної відносно центральної точки пояснює таку її назву.

У такому випадку також $Z^{t}=T+tcN$ і нормаль ${\textstyle N^{t}={\frac {N-tcT}{\sqrt {1+t^{2}c^{2}}}}={\frac {\lambda N-tT}{\sqrt {\lambda ^{2}+t^{2}}}}.}$

• З останньої рівності, зокрема випливає, що, якщо $\varphi$ позначає кут між нормаллю $N^{t}$ і нормаллю $N$ у центральній точці, то $\tan \varphi =t/\lambda .$ Тобто тангенс цього кута є прямо пропорційний відстані від центральної точки.

Інші властивості

• Лінійчата поверхня характеризується тим, що її асимптотична мережа — напівгеодезична.
• Теорема Бельтрамі. Лінійчату поверхню завжди можна і до того ж єдиним чином зігнути так, що довільна лінія на ній стане асимптотичною.
• Теорема Бонні. Якщо лінійчата поверхня $F$, що не розгортається, згинається в лінійчату поверхню $F'$, то або їх твірні відповідають одна одній, або обидві вони вигинаються в квадрику, на якій мережа, що відповідає сімействам твірних — асимптотична.
• Єдина мінімальна лінійчата поверхня — гелікоїд.
• Лінійчата поверхня обертання — однопорожнинний гіперболоїд, який може вироджуватись в циліндр, конус або площину.
• Якщо всі прямолінійні твірні лінійчатої поверхні паралельні одній площині, то вона є поверхнею Каталана.

Див. також

• Поверхня обертання
• Поверхня, що розгортається

Посилання

• Синцов Д.М. Диференціяльна геометрія. — Х.: : Радянська школа, 1931. — 272 с.(укр.)
• Weisstein, Eric W. Лінійчата поверхня(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Ruled surface pictures from the University of Arizona [Архівовано 26 вересня 2020 у Wayback Machine.]
• Examples of developable surfaces on the Rhino3DE website [Архівовано 10 листопада 2020 у Wayback Machine.]