Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перетворення Абеля є дискретним аналогом інтегрування частинами і також іноді називається сумуванням частинами [1] . Перетворення широко використовується у теорії рядів для дослідження збіжності рядів, наприклад при доведенні ознак Абеля і Діріхле .
Нехай
(
a
k
)
,
(
b
k
)
{\displaystyle (a_{k}),(b_{k})}
для
(
k
∈
N
)
{\displaystyle (k\in \mathbb {N} )}
є послідовностями дійсних чисел і
B
0
=
0
,
{\displaystyle B_{0}=0,}
а для
k
⩾
1
{\displaystyle k\geqslant 1}
за означенням
B
k
=
b
1
+
b
2
+
…
+
b
k
.
{\displaystyle B_{k}=b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{k}.}
Тоді для
n
⩾
m
⩾
1
{\displaystyle n\geqslant m\geqslant 1}
виконується рівність:
∑
k
=
m
n
a
k
b
k
=
a
n
B
n
−
a
m
B
m
−
1
−
∑
k
=
m
n
−
1
(
a
k
+
1
−
a
k
)
B
k
.
{\displaystyle \sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum \limits _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k}.}
Якщо
m
=
1
{\displaystyle m=1}
можна простіше записати:
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
=
a
n
B
n
−
∑
k
=
1
n
−
1
(
a
k
+
1
−
a
k
)
B
k
.
{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-\sum \limits _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k}.}
Оскільки
b
k
=
B
k
−
B
k
−
1
{\displaystyle b_{k}=B_{k}-B_{k-1}}
то еквівалентно формулу можна записати як:
∑
k
=
m
n
a
k
(
B
k
−
B
k
−
1
)
=
a
n
B
n
−
a
m
B
m
−
1
−
∑
k
=
m
n
−
1
(
a
k
+
1
−
a
k
)
B
k
.
{\displaystyle \sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}(B_{k}-B_{k-1})=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum \limits _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k}.}
У цьому записі помітна аналогія із формулою інтегрування частинами :
∫
a
b
u
(
x
)
d
v
(
x
)
=
[
u
(
x
)
v
(
x
)
]
a
b
−
∫
a
b
v
(
x
)
d
u
(
x
)
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)\,dv(x)={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v(x)\,du(x).}
∑
k
=
m
n
a
k
b
k
=
∑
k
=
m
n
a
k
(
B
k
−
B
k
−
1
)
=
=
∑
k
=
m
n
a
k
B
k
−
∑
k
=
m
n
a
k
B
k
−
1
=
=
∑
k
=
m
n
a
k
B
k
−
∑
k
=
m
−
1
n
−
1
a
k
+
1
B
k
=
=
a
n
B
n
+
∑
k
=
m
n
−
1
a
k
B
k
−
∑
k
=
m
n
−
1
a
k
+
1
B
k
−
a
m
B
m
−
1
=
=
a
n
B
n
−
a
m
B
m
−
1
−
∑
k
=
m
n
−
1
(
a
k
+
1
−
a
k
)
B
k
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}(B_{k}-B_{k-1})=\\&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k-1}=\\&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m-1}^{n-1}a_{k+1}B_{k}=\\&=a_{n}B_{n}+\sum _{k=m}^{n-1}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m}^{n-1}a_{k+1}B_{k}-a_{m}B_{m-1}=\\&=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},\end{aligned}}}
Дискретне перетворення використовується для оцінок сум виду
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
,
{\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}b_{k},}
які використовуються для дослідження збіжностей числових рядів.
Нехай
(
a
k
)
{\displaystyle (a_{k})}
є монотонною послідовністю . Тоді у сумі у правій частині рівності
∑
k
=
m
n
a
k
b
k
=
a
n
B
n
−
∑
k
=
1
n
−
1
(
a
k
+
1
−
a
k
)
B
k
{\displaystyle \sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-\sum \limits _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k}}
всі
a
k
+
1
−
a
k
{\displaystyle a_{k+1}-a_{k}}
мають один знак і тому із цієї формули випливає:
|
∑
k
=
m
n
a
k
b
k
|
⩽
|
a
n
|
max
k
=
1
,
…
,
n
|
B
k
|
−
∑
k
=
1
n
−
1
|
a
k
+
1
−
a
k
|
max
k
=
1
,
…
,
n
|
B
k
|
=
(
|
a
1
|
+
2
|
a
n
|
)
max
k
=
1
,
…
,
n
|
B
k
|
.
{\displaystyle \left|\sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leqslant \left|a_{n}\right|\max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|-\sum \limits _{k=1}^{n-1}\left|a_{k+1}-a_{k}\right|\max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|=(|a_{1}|+2|a_{n}|)\max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|.}
Тобто остаточно:
|
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
|
⩽
(
|
a
1
|
+
2
|
a
n
|
)
⋅
max
k
=
1
,
…
,
n
|
B
k
|
.
{\displaystyle {\bigg |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\bigg |}\leqslant (|a_{1}|+2|a_{n}|)\cdot \max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|.}
Якщо
(
a
k
)
{\displaystyle (a_{k})}
є спадною послідовністю додатних чисел , то простіше:
|
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
|
⩽
a
1
⋅
max
k
=
1
,
…
,
n
|
B
k
|
.
{\displaystyle {\bigg |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\bigg |}\leqslant a_{1}\cdot \max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|.}
↑ В.Тихомиров — Абель и его великая теорема .