Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Криві другого порядку — геометричне місце точок на площині, декартові координати яких задаються рівнянням другого ступеня:[ 1]
a
11
x
2
+
2
a
12
x
y
+
a
22
y
2
+
2
a
13
x
+
2
a
23
y
+
a
33
=
0
,
{\displaystyle \ a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,}
де хоча б один з коефіцієнтів
a
11
,
a
12
,
a
22
{\displaystyle \ a_{11},\;a_{12},\;a_{22}}
Лінії другого порядку є конічними перерізами .
Вид кривої залежить від чотирьох інваріантів :
інваріанти відносно повороту та зсуву системи координат :
Δ
=
|
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
|
{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{vmatrix}}}
D
=
|
a
11
a
12
a
12
a
22
|
=
a
11
a
22
−
a
12
2
{\displaystyle D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}^{2}}
I
=
t
r
(
a
11
a
12
a
12
a
22
)
=
a
11
+
a
22
{\displaystyle I=tr{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11}+a_{22}}
інваріант відносно повороту системи координат (напів-інваріант):
B
=
|
a
11
a
13
a
13
a
33
|
+
|
a
22
a
23
a
23
a
33
|
{\displaystyle B={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{13}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{23}&a_{33}\end{vmatrix}}}
Основними кривими другого порядку є коло , еліпс , гіпербола і парабола :[ 1]
Вид кривої
Канонічне рівняння
Інваріанти
Невироджені криві (
Δ
≠
0
{\displaystyle \ \Delta \neq 0}
еліпс
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
Δ
<
0
D
>
0
I
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle {\begin{array}{l}\Delta <0\\D>0\\I=a^{2}+b^{2}\end{array}}}
гіпербола
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
Δ
>
0
D
<
0
I
=
b
2
−
a
2
{\displaystyle {\begin{array}{l}\Delta >0\\D<0\\I=b^{2}-a^{2}\end{array}}}
парабола
y
2
=
2
p
x
{\displaystyle \ y^{2}=2px}
Δ
>
0
D
=
0
I
=
1
{\displaystyle {\begin{array}{l}\Delta >0\\D=0\\I=1\end{array}}}
Вироджені криві (
Δ
=
0
{\displaystyle \ \Delta =0}
точка
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0}
Δ
=
0
D
>
0
I
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle {\begin{array}{l}\Delta =0\\D>0\\I=a^{2}+b^{2}\end{array}}}
дві прямі що перетинаються
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0}
Δ
=
0
D
<
0
I
=
b
2
−
a
2
{\displaystyle {\begin{array}{l}\Delta =0\\D<0\\I=b^{2}-a^{2}\end{array}}}
дві паралельні прямі
x
2
a
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1}
Δ
=
0
D
=
0
I
=
1
{\displaystyle {\begin{array}{l}\Delta =0\\D=0\\I=1\end{array}}}
одна пряма
x
2
=
0
{\displaystyle \ x^{2}=0}
Δ
=
0
D
=
0
I
=
1
{\displaystyle {\begin{array}{l}\Delta =0\\D=0\\I=1\end{array}}}
Порожня множина
уявний еліпс
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
−
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1}
Δ
>
0
D
>
0
I
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle {\begin{array}{l}\Delta >0\\D>0\\I=a^{2}+b^{2}\end{array}}}
дві уявні паралельні прямі
x
2
a
2
=
−
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}=-1}
Δ
=
0
D
=
0
I
=
1
{\displaystyle {\begin{array}{l}\Delta =0\\D=0\\I=1\end{array}}}
Більшість типів ліній другого порядку відомі давно, їх досить добре вивчив Аполлоній . Він утворював основні типи ліній другого порядку як плоскі перерізи кругового конуса , тому в математичній літературі лінії другого порядку відомі ще як конічні перерізи .
Лінії другого порядку зустрічаються в явищах навколишнього світу: по еліпсу рухаються планети Сонячної системи , по гіперболі або параболі — комети . Траєкторія руху тіла, кинутого під кутом до горизонту , є параболою; космічні кораблі, ракети, залежно від наданої їм швидкості, рухаються по колу, еліпсу, параболі чи гіперболі.
↑ а б Постников М. М. (1979). Аналитическая геометрия . «Наука».
