Матриця розсіяння або S-матриця — оператор, який зв'язує між собою початкову і кінцеву хвильові функції квантової системи при розсіянні. Позначається зазвичай
:
.
де
позначає хвильову функцію в нескінченно віддалений момент часу в минулому, до акту розсіяння, коли частинки перебувають дуже далеко одна від одної і взаємодією між ними можна знехтувати, а
позначає хвильову функцію в нескінченно віддалений момент часу після акту розсіяння, коли знову ж, частинки вже встигли розлетітися на таку віддаль, що взаємодією між ними можна знехтувати.
S-матриця унітарна, тобто
,
де значок
позначає ермітове спряження.
Оператор
![{\displaystyle {\hat {\mathcal {T}}}={\hat {S}}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071f1a1b29e0642affbf37aa5c364fd8de607e38)
називають оператором переходу.
Гамільтоніан системи частинок, які розсіюються одна на іншій можна записати у вигляді
.
В цьому виразі гамільтоніан системи частинок до розсіяння і після нього розбивається на різні складові для загальності — при зіткненнях склад системи може змінитися, наприклад, електрон може вибити інший електрон із атома.
Якщо функції
є власними функціями оператора
:
,
а функції
є власними функціями оператора
:
,
то хвильову функцію початкового і кінцевого станів можна розкласти
![{\displaystyle \psi (-\infty )=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\varphi _{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444cdc8b5361ef379d4e2cad4dbb2d86e59601ba)
![{\displaystyle \psi (\infty )=\sum _{\beta }{\tilde {c}}_{\beta }\varphi _{\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939f90cd67c04bc606ac4e9e61b91ad5fc14a46a)
Тоді
![{\displaystyle {\tilde {c}}_{\beta }=\sum _{\alpha }S_{\beta \alpha }c_{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ddce40084fe9a755f8fd83397c169ef43904503)
Із цього виразу видно, що
є матрицею, загалом нескінченного рангу. Завдяки цьому S-матриця й отримала свою назву.
Імовірність переходу системи із стану
в стан
визначається елементом матриці переходу
:
![{\displaystyle W_{\alpha \rightarrow \beta }=|{\mathcal {T}}_{\beta \alpha }|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfdda6d17419264756cc7356def2813abcecf95c)
Беручи до уваги, що енергія системи є інтегралом руху, матриця переходу записується у вигляді:
![{\displaystyle {\mathcal {T}}_{\beta \alpha }=-2\pi it_{\beta \alpha }\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc78adf5cd6c60833930cdf09a4570ba5db550af)
Тоді загальна імовірність переходу за нескінченний проміжок часу
дорівнює:
![{\displaystyle W_{\alpha \rightarrow \beta }=(2\pi )^{2}|t_{\beta \alpha }|^{2}[\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })]^{2}=(2\pi )^{2}|t_{\beta \alpha }|^{2}\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-{\frac {1}{2}}T}^{{\frac {1}{2}}T}dt\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}(E_{\alpha }-E_{\beta })t\right]={\frac {2\pi }{\hbar }}|t_{\beta \alpha }|^{2}\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })\lim _{T\to \infty }T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976f4acf8e629e2c768e8a292e13be9ac40e38de)
Імовірність переходу в одиницю часу
одержимо, поділивши повну імовірність
на повний проміжок часу
:
![{\displaystyle w_{\alpha \rightarrow \beta }={\frac {2\pi }{\hbar }}|t_{\beta \alpha }|^{2}\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a832f8d58944485e869ae3757571d0da51dd1a)
Матрицю розсіяння ввів у обіг в 1937 році Джон Вілер, а в 1940 році цю ідею підхопив Вернер Гейзенберг.