Рівностепенева неперервність — властивість сім'ї неперервних функцій, яка полягає в тому, що всі функції змінюються однаково в межах заданого околу.
Рівностепенева неперервність і рівномірна рівностепенева неперервність
[ред. | ред. код]
Нехай
деяка сім'я неперервних функцій, де — деяка підмножина дійсної осі, — множина індексів.
Множина функцій — рівностепенево неперервна в точці , якщо
Множина функцій — рівностепенево неперервна, якщо вона рівностепенево неперервна в кожній точці з .
Іншими словами, для довільного знайдеться таке , яке залежить від та , що для довільних таких, що випливає, що нерівність виконується одночасно для всіх функцій з .
Множина функцій — рівномірно рівностепенево неперервна, якщо
Іншими словами, для довільного знайдеться таке , яке залежить тільки від , що для довільних таких, що випливає, що нерівність виконується одночасно для всіх функцій з .
Різниця між рівностепеневою неперервністью і рівномірною рівностепеневою неперервністю в тому, що у першому випадку вибір залежить і від , і від . У випадку рівномірної рівностепенової неперервності залежить тільки від . Часто коли говорять про рівностепеневу неперервність, то під нею розуміють рівномірну рівностепеневу неперервність.
Наведені означення безпосередньо переносяться на випадок метричних просторів [1]
Нехай , — метричні простори і
— множина всіх неперервних відображень з в .
Підмножина відображень — рівностепенево неперервна в точці , якщо
Множина — рівностепенево неперервна, якщо вона рівностепенево неперервна в кожній точці з .
Підмножина відображень називається рівномірно рівностепенево неперервною, якщо
Більш загально, якщо — топологічний простір, то множина відображень з в називається рівностепенево неперервною в точці , якщо
де позначає деякий окіл точки .
- Якщо — компактний простір, то множина функцій рівномірно рівностепенево неперервна тоді і тільки тоді, коли вона рівностепенево неперервна.
- Кожна з функцій рівномірно рівностепеневої множини функцій рівномірно неперервна.
- Будь-яка скінченна множина рівномірно неперервних функцій рівномірно рівностепенево неперервна.
- Нехай — рівностепенево неперервна сім'я функцій і поточково для довільного , тоді — неперервна [2].
- Нехай — рівностепенево неперервна сім'я функцій з в повний метричний простір і для всіх з деякої щільної в підмножини, тоді для всіх .
- Нехай — компактний простір і — рівномірно рівностепенево неперервна сім'я функцій і поточково для довільного , тоді рівномірно.
- Згідно узагальненої теореми Арцела якщо — компактні простори, то підмножина компактна в як метричному просторі наділеному рівномірною метрикою тоді і тільки тоді, коли рівностепенево неперервна.
- Послідовність функцій з однаковою константою Ліпшица утворюють (рівномірно) рівностепеневу множину функцій. В частковому випадку такою є множина функцій похідні яких є рівномірно обмеженими.
- Нехай — неперервна на функція. Розглянемо відображення , яке задається формулою
Тоді множина рівностепенево неперервна [3].
Рівностепенева неперервність узагальнюється для відображень між топологічними просторами, які наділені так званою рівномірною структурою (у топологічному просторі вводиться спеціальна топологія — сім'я підмножин з декартового добутку наділена певними властивостями).
- ↑ Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1977. — С. 42-43.
- ↑ Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1977. — С. 43.
- ↑ Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1977. — С. 49.
- Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — Москва : Мир, 1977. — 355 с.