Рівномірна неперервність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівномірна неперервність в математичному і функціональному аналізі — це властивість функції бути однаково неперервною в усіх точках області визначення.

Означення[ред.ред. код]

Нехай дано два метричні простори і . Функція називається рівномірно неперервною на підмножині якщо

.

Зокрема, дійснозначна функція дійсного змінного рівномірно неперервна, якщо

Вибір у визначенні рівномірної неперервності залежить від , але не від .

Властивості[ред.ред. код]

  • Функція, рівномірно неперервна на множині неперервна на ній. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Наприклад, функція

неперервна на всій області визначення, але не є рівномірно неперервною, оскільки при будь-якому можна вказати відрізок скільки завгодно малої довжини такий, що на його кінцях значення функції відрізнятимуться більше, ніж на Інший приклад: функція

неперервна на всій числовій осі, але не є рівномірно неперервною, оскільки

Для будь-якого можна вибрати відрізок як завгодно малої довжини такий, що різниця значень функції на кінцях відрізка буде більше Зокрема, на відрізку різниця значень функції збігається до

  • (Теорема Кантора — Гейне) Функція, неперервна на компактній підмножині рівномірно неперервна на ній. Зокрема якщо то вона рівномірно неперервна на
  • Нехай це рівномірно неперервне відображення, і послідовність Коші в Тоді — послідовність Коші в
  • Будь-яке ліпшицеве відображення є рівномірно неперервним.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]