Рівномірна неперервність

Графік $f(x)={\frac {1}{x}}$ перетинає горішню і долішню риски обмежувального вікна висота × широта= $2\varepsilon \times 2\delta ,$ якою маленькою не була б $\delta$ , отже $f(x)$ не рівномірно неперервна. Тоді як, функція $g(x)={\sqrt {x}}$ рівномірно неперервна.

Рівномірна неперервність в математичному і функціональному аналізі — це властивість функції бути однаково неперервною в усіх точках області визначення.

Означення[ред. | ред. код]

Нехай дано два метричні простори $(X,\varrho _{X})$ і $(Y,\varrho _{Y})$ . Функція $f\colon X\to Y$ називається рівномірно неперервною на підмножині $M\subset X,$ якщо

\forall \varepsilon >0\;\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\;\forall x_{1},x_{2}\in M\quad {\bigl (}\varrho _{X}(x_{1},x_{2})<\delta {\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}\varrho _{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon {\bigr )}

.

Зокрема, дійснозначна функція дійсного змінного $f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ рівномірно неперервна, якщо

\forall \varepsilon >0\;\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\;\forall x_{1},x_{2}\in M\quad {\bigl (}|x_{1}-x_{2}|<\delta {\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon {\bigr )}

Вибір $\delta$ у визначенні рівномірної неперервності залежить від $\varepsilon$ , але не від $x_{1},x_{2}.$

Властивості[ред. | ред. код]

Функція, рівномірно неперервна на множині $M,$ неперервна на ній. Зворотне, взагалі кажучи, не справджується. Наприклад, функція

f(x)={\frac {1}{x}},\;x\in (0,1)

неперервна на всій області визначення, але не є рівномірно неперервною, оскільки при будь-якому $\varepsilon >0$ можна вказати відрізок скільки завгодно малої довжини такий, що на його кінцях значення функції відрізнятимуться більше, ніж на $\varepsilon .$ Інший приклад: функція

f(x)=x^{2},\;x\in (-\infty ,+\infty )

неперервна на всій числовій осі, але не є рівномірно неперервною, оскільки

\lim _{x\to \infty }(f\left(x+{\frac {a}{x}}\right)-f(x))=\lim _{x\to \infty }(x^{2}+2a+a^{2}x^{-2}-x^{2})=2a.

Для будь-якого $\varepsilon >0$ можна вибрати відрізок як завгодно малої довжини $\varepsilon /x$ такий, що різниця значень функції $f(x)=x^{2}$ на кінцях відрізка буде більше $\varepsilon .$ Зокрема, на відрізку $\left(x,x+{\frac {\varepsilon }{x}}\right)$ різниця значень функції збігається до $2\varepsilon .$

(Теорема Кантора — Гейне) Функція, неперервна на компактній підмножині $K\subset X,$ рівномірно неперервна на ній. Зокрема якщо $f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )},$ то вона рівномірно неперервна на $[a,b].$
Нехай $f\colon X\to Y$ це рівномірно неперервне відображення, і $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ — послідовність Коші в $X.$ Тоді ${\bigl \{}f(x_{n}){\bigr \}}_{n=1}^{\infty }$ — послідовність Коші в $Y.$
Будь-яке ліпшицеве відображення є рівномірно неперервним.