Параболоїд: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
→Таблиця множення: Немає необхідності загострювати увагу на торговій марці. Будь-які класичні чіпси мають таку форму. Мітки: Редагування з мобільного пристрою Редагування через мобільну версію |
|||
Рядок 47: | Рядок 47: | ||
== Таблиця множення == |
== Таблиця множення == |
||
[[Файл:Pringles_chips.JPG|thumb|right|Чіпси |
[[Файл:Pringles_chips.JPG|thumb|right|Чіпси — це приклад гіперболічного параболоїду]] |
||
Якщо гіперболічний параболоїд |
Якщо гіперболічний параболоїд |
||
: <math> z = {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} </math> |
: <math> z = {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} </math> |
Версія за 13:53, 1 лютого 2021
Параболоїд — тип поверхні другого порядку.
Рівняння
Типи параболоїдів
Канонічне рівняння параболоїда в декартових координатах:
- якщо і мають один знак, то параболоїд зветься еліптичним.
- якщо і мають різні знаки, то параболоїд зветься гіперболічним.
- якщо один з коефіцієнтів дорівнює нулю, то параболоїд зветься параболічним циліндром.
Еліптичний параболоїд
Еліптичний параболоїд виглядає як овальна чашка й може мати точку максимуму або мінімуму. У системі координат з трьома осями , і , еліптичний параболоїд може бути поданий рівнянням
де і — константи, що визначають кривизну в площинах - і - відповідно.
Гіперболічний параболоїд
Гіперболічний параболоїд (не плутати з гіперболоїдом) — це двічі лінійчата поверхня, що має вигляд сідла. У підходящій системі координат гіперболічний параболоїд може бути поданий рівнянням
Властивості
Гіперболічний параболоїд — це двічі лінійчата поверхня, тому може бути використана для побудови сідлової поверхні з ліній.
Коли a = b, еліптичний параболоїд перетворюється на параболоїд обертання: поверхню отримано обертанням параболи навколо її осі. Форму параболоїду обертання мають параболічні рефлектори, дзеркала, антенні тарілки тощо. Форма рідини, що обертається в рідинно-дзеркальних телескопах, також є параболоїдом обертання. Параболоїд обертання також називається круговим параболоїдом.
Кривина
Еліптичний параболоїд, що параметризований як
має Ґаусову кривину
обидві з яких є позитивними, мають максимум на початку відліку, стають меншими з рухом точки від початку відліку, прямують асимптотично до нуля, коли точка рухається нескінченно віддалено від початку відліку.
Гіперболічний параболої параметризований як
має Ґаусову кривину
Таблиця множення
Якщо гіперболічний параболоїд
обертається на кут π/4 в напрямку +z (відповідно до правила правої руки, то результатом є поверхня
і якщо тоді вираз спрощується до
- .
Нарешті, прирівнюючи , можна бачити, що гіперболічний параболоїд
є конгруентним до поверхні
що може бути геоментричною інтерпретацією (тривимірна номограма) таблиці множення.
Дві параболоїдні функції
і
є гармонійними кон'югатами, і разом формують аналітичну функцію
яка є аналітичним продовженням parabolic function
Параболоїди в природі та техніці
Параболоїди обертання мають властивість фокусувати промені, що проходять паралельно головній оптичній осі, в одній точці, ця властивість використовується при розробці антен та телескопів.
Гіперболічний параболоїд утворюється сіткою прямих, що перетинаються, ця властивість використовується в будівництві.
Гіперболоїд інженера Гаріна насправді мав форму параболоїда обертання.
Чайник у формі параболоїда обертання швидше закипає і довше зберігає тепло.
Посилання
- Параболоїди // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 157. — 594 с.
- Параболоїди // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 145. — ISBN 978-966-7407-83-4.