Параболоїд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Параболоїд обертання

Параболоїд — тип поверхні другого порядку.

Рівняння[ред.ред. код]

Типи параболоїдів[ред.ред. код]

Канонічне рівняння параболоїда в декартових координатах:

  • якщо і мають один знак, то параболоїд зветься еліптичним.
  • якщо і мають різні знаки, то параболоїд зветься гіперболічним.
  • якщо один з коефіцієнтів дорівнює нулю, то параболоїд зветься параболічним циліндром.

Еліптичний параболоїд[ред.ред. код]

Еліптичний параболоїд

Еліптичний параболоїд виглядає як овальна чашка й може мати точку максимуму або мінімуму. У системі координат з трьома осями , і , еліптичний параболоїд може бути поданий рівнянням

де і  — константи, що визначають кривизну в площинах - і - відповідно.

Гіперболічний параболоїд[ред.ред. код]

Гіперболічний параболоїд

Гіперболічний параболоїд (не плутати з гіперболоїдом) — це двічі лінійчата поверхня, що має вигляд сідла. У підходящій системі координат гіперболічний параболоїд може бути поданий рівнянням

Властивості[ред.ред. код]

Гіперболічний параболоїд — це двічі лінійчата поверхня, тому може бути використана для побудови сідлової поверхні з ліній.

Коли a = b, еліптичний параболоїд перетворюється на параболоїд обертання: поверхню отримано обертанням параболи навколо її осі. Форму параболоїду обертання мають параболічні рефлектори, дзеркала, антенні тарілки тощо. Форма рідини, що обертається в рідинно-дзеркальних телескопах, також є параболоїдом обертання. Параболоїд обертання також називається круговим параболоїдом.

Кривина[ред.ред. код]

Еліптичний параболоїд, що параметризований як

має Ґаусову кривину

і середню кривину

обидві з яких є позитивними, мають максимум на початку відліку, стають меншими з рухом точки від початку відліку, прямують асимптотично до нуля, коли точка рухається нескінченно віддалено від початку відліку.

Гіперболічний параболої параметризований як

має Ґаусову кривину

і середню кривину

Таблиця множення[ред.ред. код]

Чіпси Прінглз — це приклад гіперболічного параболоїду

Якщо гіперболічний параболоїд

обертається на кут π/4 в напрямку +z (відповідно до правила правої руки, то результатом є поверхня

і якщо тоді вираз спрощується до

.

Нарешті, прирівнюючи , можна бачити, що гіперболічний параболоїд

є конгруентним до поверхні

що може бути геоментричною інтерпретацією (тривимірна номограма) таблиці множення.

Дві параболоїдні функції

і

є гармонійними кон'югатами, і разом формують аналітичну функцію

яка є аналітичним продовженням parabolic function

Параболоїди в природі та техніці[ред.ред. код]

Дах вокзалу в Варшаві має форму гіперболічного параболоїда

Параболоїди обертання мають властивість фокусувати промені, що проходять паралельно головній оптичній вісі, в одній точці, ця властивість використовується при розробці антен та телескопів.

Гіперболічний параболоїд утворюється сіткою прямих, що перетинаються, ця властивість використовується в будівництві.

Гіперболоїд інженера Гаріна насправді мав форму параболоїда обертання.

Посилання[ред.ред. код]


Див. також[ред.ред. код]