У комплексному аналізі, теорема Бореля — Каратеодорі стверджує, що довільна голоморфна функція може бути обмеженою своєю дійсною частиною. Теорема є застосуванням принципа максимуму модуля. Названа на честь Еміля Бореля і Костянтина Каратеодорі.
Нехай
— функція, що є гомоморфною на замкнутому крузі радіуса R з центром в початку координат. Припустимо, що r < R. Тоді виконується нерівність:
![{\displaystyle \|f\|_{r}\leqslant {\frac {2r}{R-r}}\max _{|z|=R}\operatorname {Re} f(z)+{\frac {R+r}{R-r}}|f(0)|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b1f6ed7cdcece85752fabbfb16507195abfb18)
Норма у лівій частині позначає максимум модуля f у замкнутому крузі:
![{\displaystyle \|f\|_{r}=\max _{|z|\leqslant r}|f(z)|=\max _{|z|=r}|f(z)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d611b992d6d41662bd313f46442890f70fbffe3)
(остання рівність випливає із принципу максимуму модуля).
Визначимо A як
![{\displaystyle A=\max _{|z|\leqslant R}\operatorname {Re} f(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e42f5da56ab4b4cd3cf2fceb2ea09896aac45d62)
Нехай спершу f(0) = 0. Оскільки Re f є гармонічною функцією, можна вважати A>0 і
f є відображенням у півплощину P зліва від прямої x=A. Для доведення знайдемо відображення півплощини в круг, застосуємо лему Шварца після чого отримаємо нерівність.
Відображення
переводить P у стандартну ліву півплощину. Відображення
переводить стандартну ліву півплощину у круг радіуса R з центром у початку координат. Композиція цих відображень і є необхідним відображенням:
![{\displaystyle w\mapsto {\frac {Rw}{w-2A}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8c094830cc2ded79cb8518afe853115f089c86)
Згідно леми Шварца застосованої до композиції цього відображення і f, маємо
![{\displaystyle {\frac {|Rf(z)|}{|f(z)-2A|}}\leqslant |z|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa491812b99951c02d0b35601649f1de9d22da2)
Якщо |z| ≤ r то
![{\displaystyle R|f(z)|\leqslant r|f(z)-2A|\leqslant r|f(z)|+2Ar}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/358c0667da9877317cb95e631b87a4f5a0ea2933)
отож
,
що і треба було довести.
В загальному випадку, попереднє можна застосувати до функції f(z)-f(0):
![{\displaystyle {\begin{aligned}|f(z)|-|f(0)|&\leqslant |f(z)-f(0)|\leqslant {\frac {2r}{R-r}}\max _{|w|=R}\operatorname {Re} (f(w)-f(0))\\&\leqslant {\frac {2r}{R-r}}\left(\max _{|w|=R}\operatorname {Re} f(w)+|f(0)|\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da0f50de51f1d95dbd65f237c05987a5b3bdd28)
і після перестановок отримуємо необхідний результат.
Якщо в умовах теореми також додатково задати умову
, то нерівності подібні до нерівностей у попередній теоремі задовольняють також похідні функції. А саме при цих умовах і при позначеннях як вище для всіх
:
![{\displaystyle \|f^{(n)}\|_{r}=\max _{|z|=r}|f^{(n)}(z)|<{\frac {2^{n+2}n!R}{(R-r)^{n+1}}}\left(\max _{|z|=R}\operatorname {Re} f(z)+|f(0)|\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ba494bd40b1d288c2e49d63fbd337a49a7fc11)
Якщо
то з нерівності Бореля — Каратеодорі одержуємо нерівність:
Для всіх
для яких
згідно інтегральної формули Коші
.
Оскільки
тому з першої нерівності у цьому доведенні:
Тоді з виразу інтегральної формули Коші:
- Lang, Serge (1999). Complex Analysis (4th ed.). New York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1.
- Titchmarsh, E. C. (1938). The theory of functions. Oxford University Press.
- Viola Carlo (2016). An Introduction to Special Functions. UNITEXT 102 (вид. 1). Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-41344-0.