Півплощина

Верхня півплощина

Півплощина в математиці — множина точок площини, що лежать по один бік від деякої прямої на цій площині.

Координатні подання

Декартові координати

Координати точок півплощини задовольняють нерівності:

$Ax+By+C>0$

де $A$, $B$, $C$ — деякі сталі, причому $A$ і $B$ одночасно не дорівнюють нулю.

Якщо сама пряма $Ax+By+C=0$ (межа півплощини) зараховується до цієї півплощини, то таку півплощину називають замкнутою.

Комплексні координати

На комплексній площині $z=x+iy$ розглядають:

• верхню півплощину $y={\text{Im }}z>0$,
• нижню півплощину $y={\text{Im }}z<0$,
• ліву півплощину $x={\text{Re }}z<0$,
• праву півплощину $x={\text{Re }}z>0$.

Властивості

• Дві точки лежать по один бік від прямої тоді й лише тоді, коли відрізок між ними не перетинається з цією прямою.
• Півплощина комплексної площини конформно відображається на коло за допомогою дробово-лінійної функції. Таке відображення з верхньої півплощини в одиничне коло (і назад) називають перетворенням Келі.

Див. також

• Промінь
• Півпростір