Теорема Гурвіца про композитні алгебри

Теорема Гурвіца про композитні алгебри — теорема, що описує основні нормовані алгебри (не плутати з нормованими (банаховими) алгебрами що в функціональному аналізі).

Ця теорема сформульована німецьким математиком Адольфом Гурвіцем в 1898 році..

Визначення нормованої алгебри

Алгебра називається нормованою, якщо в ній можна ввести скалярний добуток з властивістю: $\ (ab,ab)=(a,a)(b,b).$

Оскільки ввівши норму $\ |a|=(a,a)^{1/2},$ отримаємо $\ |ab|=|a|\cdot |b|.$

Формулювання теореми

• Довільна нормована алгебра з одиницею ізоморфна одній з чотирьох алгебр: дійсних чисел, комплексних чисел, кватерніонів чи октав.

• Довільна нормована алгебра має властивість альтернативності: $(ab)b=a(bb),\quad b(ba)=(bb)a.$

Доведення

Лема 1

В довільній нормованій алгебрі справедлива тотожність $\ (a_{1}b_{1},a_{2}b_{2})+(a_{1}b_{2},a_{2}b_{1})=2(a_{1},a_{2})(b_{1},b_{2}).$

Лема 2

В довільній нормованій алгебрі з одиницею справедлива тотожність $\ (ab){\bar {b}}=(b,b)a.$

Наслідком леми є формула $\ (ax){\bar {y}}+(ay){\bar {x}}=2(xy)a.$

Доведення теореми

Позначимо одиницю алгебри $\ {\mathcal {A}}$ через $\mathbf {1} .$

Кожен елемент $u\in {\mathcal {A}}$ можна представити єдиним чином у вигляді $u=k\mathbf {1} +u^{\prime },$ де $u^{\prime }\perp \mathbf {1} .$

Введемо в алгебрі операцію спряження таким чином ${\bar {u}}=k\mathbf {1} -u^{\prime }.$

---

Нехай $\ {\mathcal {U}}$ — деяка підалгебра, що містить $\mathbf {1}$ і не збігається з $\ {\mathcal {A}}.$

Тоді існує одиничний вектор $\ e$, що ортогональний до $\ {\mathcal {U}}.$

Покажемо що елементи виду

$u_{1}+u_{2}e\quad (u_{1},u_{2}\in {\mathcal {U}})\qquad \qquad (*)$

також утворюють підалгебру в $\ {\mathcal {A}}.$ Позначимо її ${\mathcal {U+U}}e.$

Для цього доведемо:

• Представлення довільного елемента з ${\mathcal {U+U}}e$ у вигляді (*) можливе єдиним чином.

Доведення використовує Лему 1.

• Множення елементів виду (*) задовільняє формулу $(u_{1}+u_{2}e)(v_{1}+v_{2}e)=(u_{1}v_{1}+{\bar {v_{2}}}u_{2})+(v_{2}u_{1}+u_{2}{\bar {v_{1}}})e,$ яка збігається з процедурою подвоєння Келі-Діксона.

Спочатку за допомогою наслідку Леми 2 доведемо формули: $\ (ue)v=(u{\bar {v}})e,\;u(ve)=(vu)e,\;(ue)(ve)=-{\bar {v}}u.$

З яких легко отримати дану формулу.

Довільна підалгебра $\ {\mathcal {U}},$ що містить $\mathbf {1}$ і не збігається з $\ {\mathcal {A}}$ є асоціативною.

Доведення використовує наслідок Леми 2.

---

Отже, оскільки алгебра $\ {\mathcal {A}}$ містить одиницю, то в неї є підалгебра з елементів виду $k\mathbf {1} ,$ що ізоморфна алгебрі дійсних чисел $\mathbb {R}$.

Якщо $\mathbb {R}$ не збігається з алгеброю ${\mathcal {A}}$ то розглянемо підалгебру $\mathbb {C} =\mathbb {R} +\mathbb {R} e,$ що ізоморфна алгебрі комплексних чисел.

Якщо $\mathbb {C}$ не збігається з алгеброю ${\mathcal {A}}$ то розглянемо підалгебру $\mathbb {Q} =\mathbb {C} +\mathbb {C} e^{\prime },$ що ізоморфна алгебрі кватерніонів.

Якщо $\mathbb {Q}$ не збігається з алгеброю ${\mathcal {A}}$ то розглянемо підалгебру $\mathbb {O} =\mathbb {Q} +\mathbb {Q} e^{\prime \prime },$ що ізоморфна алгебрі октав.

Алгебра $\mathbb {O}$ вже повинна збігатися з алгеброю ${\mathcal {A}}$, оскільки вона вже не є асоціативною.

Джерела

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)