У комплексному аналізі теорема Ліувіля стверджує, що якщо ціла функція
комплексних змінних
є обмеженою, тобто
![{\displaystyle |f(z)|\leqslant M<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1b3d0a8eb329bba658c436a4808f3c1448120a)
то
— константа.
Доведення (для випадку
)
[ред. | ред. код]
Нехай
обмежена на комплексній площині, тобто
![{\displaystyle \exists M\;\forall z\;|f(z)|\leq M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c00f113dea96c6c3d151541b430c19105206295)
Скористаємося інтегральною формулою Коші для похідної
Де
— коло радіуса
, що містить точку
.
Маємо
Звідси, зважаючи що інтегральна формула Коші справедлива для довільного контуру, маємо
Тоді
і, відповідно,
є константою. Теорема доведена.
- Якщо
― ціла функція в
і для деякого
,
![{\displaystyle |f(z)|\leqslant C|z|^{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/909b3b16c6f005e3c76664bc7c65bd0bd63af419)
- для достатньо великих |z|, то
— многочлен від змінних
степеня не вище
.
- Доведення для однієї змінної.Визначимо:
![{\displaystyle g(z)={\begin{cases}{\frac {f(z)-f(0)}{z}}&z\neq 0\\f'(0)&z=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1742fcdb34f71f2f031cb60695784e396fc45fea)
- Оскільки f є цілою функцією, то g теж є цілою, і, зважаючи на обмеження на f, одержуємо
![{\displaystyle |g(z)|<c_{1}+c_{2}\cdot |z|^{n-1}<c'\cdot |z|^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8ae805168bd60aae1eca9117f640f5dde51a00e)
- для достатньо великих |z|.
- Якщо припустити, що g є многочленом степеня не більше n-1, то f є многочленом степеня не більше n. Для завершення доведення достатньо використати звичайну теорему Ліувіля і метод математичної індукції.
![{\displaystyle u(x)<C(1+|x|^{r})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16e4b27650c5a84d564baeb8783098b17d79bb9)
- то
— гармонічний многочлен від цих змінних.
Гармонічна функція
на всій площині не може бути обмеженою зверху або знизу, якщо вона не стала.
Оскільки дійсна і уявна частини цілої комплексної функції є гармонічними функціями, дане твердження є наслідком твердження теореми для цілих функцій. Можна також дати доведення за допомогою інтеграла Пуассона.
Нехай гармонічна функція на всій площині
. Тоді функція
є також гармонічною на всій площині.
Позначимо через
довільну точку площини,
— відстань від точки
до початку координат, і проведемо круг
з центром у початку координат такого радіуса
, щоб точка
була внутрішньою для цього круга (тобто
). В силу гармонічності функції
зобразимо її в крузі за допомогою інтеграла Пуассона :
тоді отримаємо
Перейшовши до границі, коли
, матимемо
тобто
.
В силу довільності точки
звідси випливає, що
стала на всій площині.
- М.О.Перестюк,В.В.Маринець (2001). Теорія рівнянь математичної фізики. Київ: Либідь.
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
- Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372