Формула сумування Абеля

Фо́рмула суму́вання А́беля, яку ввів норвезький математик Нільс Генрік Абель, часто застосовується в теорії чисел для оцінення сум скінченних і нескінченних рядів.

Формула

Нехай $a_{n}$ — послідовність дійсних або комплексних чисел і $f(x)$ — неперервно диференційовна на промені $[1,x)$ функція. Тоді

$\sum _{1\leqslant n\leqslant x}a_{n}f(n)=A(x)f(x)-\int _{1}^{x}A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u$

де

$A(x):=\sum _{0<n\leqslant x}a_{n}\,.$

В загальному випадку, якщо $f(x)$ є неперервно диференційовною на $[x,y)$ то

$\sum _{x<n\leqslant y}a_{n}f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y}A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u\,.$

Якщо часткові суми ряду $a_{n}$ обмежені, а $\lim \limits _{x\to \infty }f(x)=0$, то граничним переходом можна отримати таку рівність

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}f(n)=-\int \limits _{1}^{+\infty }A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u$

Доведення

Подамо обидві частини рівності як функції від $x$. По-перше, зауважимо, що з $x=1$ рівність істинна (інтеграл перетворюється в нуль). По-друге, за нецілих $x$ обидві частини можна продиференціювати, отримавши правильну рівність. Нарешті, при цілому $x$ ліва частина має стрибок $a_{x}f(x)$, такий самий стрибок має функція $A(x)f(x)$, а інтеграл неперервний, тобто має стрибок рівний нулю. Таким чином, формулу доведено для всіх $x\geq 1$.

Приклади

Стала Ейлера — Маскероні

Для $a_{n}=1$ і $f(x)={\frac {1}{x}}\,,$ легко бачити, що $A(x)=\lfloor x\rfloor ,$ тоді

$\sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\mathrm {ln} (x)-\int _{1}^{x}{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\mathrm {d} u$

переносячи в ліву частину логарифм і переходячи до границі, отримуємо вираз для сталої Ейлера — Маскероні:

$\gamma =1-\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\,du$, де $\left\{t\right\}$ — дробова частина число $t$.

Подання дзета-функції Рімана

Для $a_{n}=1$ і $f(x)={\frac {1}{x^{s}}}\,,$ аналогічно $A(x)=\lfloor x\rfloor ,$ тоді

$\sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u=s\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {u}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u-\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\right)=1+{\frac {1}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.$

Цю формулу можна використовувати для визначення дзета-функції в області $\Re (s)>0,$ оскільки в цьому випадку інтеграл збігається абсолютно. Крім того, з неї випливає, що $\zeta (s)$ має простий полюс із лишком 1 у точці s = 1.

Сумування Ейлера — Маклорена

У загальному випадку, якщо $f(x)$ є неперервно диференційовною на $[x,y)$ і всі $a_{n}=1$ (тоді також $A(x)=\lfloor x\rfloor$) то:

${\begin{aligned}\sum _{x<n\leqslant y}f(n)&=f(y)\lfloor y\rfloor -f(x)\lfloor x\rfloor -\int _{x}^{y}\lfloor u\rfloor f'(u)\,\mathrm {d} u\,=\\&=f(y)(y-\{y\})-f(x)(x-\{x\})-\int _{x}^{y}(u-\{u\})f'(u)\,\mathrm {d} u\,=\\&=f(x)\{x\}-f(y)\{y\}+\int _{x}^{y}\{u\}f'(u)\,\mathrm {d} u+f(y)y-f(x)x-\int _{x}^{y}uf'(u)\,=\\&=f(x)\{x\}-f(y)\{y\}+\int _{x}^{y}\{u\}f'(u)\,\mathrm {d} u+\int _{x}^{y}f(u).\end{aligned}}$

Для доведення останньої рівності використано інтегрування частинами.

Рівність

$\sum _{x<n\leqslant y}f(n)=f(x)\{x\}-f(y)\{y\}+\int _{x}^{y}\{u\}f'(u)\,\mathrm {d} u+\int _{x}^{y}f(u)\,\mathrm {d} u$

називається формулою сумування Ейлера — Маклорена. Якщо $x,y$ є цілими числами, то вона є найпростішим випадком формул Ейлера — Маклорена. Дана формула часто використовується у аналітичній теорії чисел. Зокрема приклади вище є частковими випадками цієї формули.

Інший важливий приклад застосування можна отримати, якщо взяти $x=1$ і $f(u)=\ln u.$ Тоді

$\sum _{n\leqslant y}\ln n=\int _{1}^{y}\ln u\,\mathrm {d} u+\int _{1}^{y}{\frac {\{u\}}{u}}\,\mathrm {d} u-\{y\}\ln y.$

Перший доданок у правій частині є рівним $y\ln y-y,$ а два інші є $O(\ln y).$ Отже остаточно:

$\sum _{n\leqslant y}\ln n=y\ln y-y+O(\ln y).$

Посилання

• Apostol, Tom (1976), Introduction to Analytic Number Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag