Графік функцій Ai (x ) (червоний) та Bi (x ) (синій) Функція Ейрі Ai (x ) — спеціальна функція , названа на честь британського астронома Джорджа Бідделя Ейрі . Функції Ai (x ) та пов'язана з нею Bi (x ), яка називається функцією Ейрі другого роду, є лінійно незалежними розв'язками диференціального рівняння
y
″
−
x
y
=
0
{\displaystyle y''-xy=0\,}
що називається рівнянням Ейрі . Це найпростіше диференціальне рівняння що має точку, в якій вид розв'язку замінюється з коливального на експоненційний.
Функція Ейрі описує те, як зірка (точкове джерело світла) виглядає в телескопі . Ідеальна точка перетворюється в набір концентричних кіл, в силу обмеженої апертури та хвильової природи світла . Функція Ейрі також є розв'язком стаціонарного рівняння Шредінгера для частки, що рухається в однорідному полі, наприклад, електричному .
Для дійсних x , функція Ейрі та функція Ейрі другого роду визначаються інтегралом:
A
i
(
x
)
=
1
π
∫
0
∞
cos
(
t
3
3
+
x
t
)
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.}
B
i
(
x
)
=
1
π
∫
0
∞
exp
(
−
t
3
3
+
x
t
)
+
sin
(
t
3
3
+
x
t
)
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.}
Виконуючи диференціювання під знаком інтегралу, можна переконатися, що ці функції справді задовольняють рівнянню Ейрі.
y
″
−
x
y
=
0
.
{\displaystyle y''-xy=0\,.}
При
x
→
−
∞
{\displaystyle x\rightarrow -\infty }
В точці x =0 функції Ai(x ) і Bi(x ) та їх похідні мають значення
A
i
(
0
)
=
1
3
2
/
3
Γ
(
2
3
)
,
A
i
′
(
0
)
=
−
1
3
1
/
3
Γ
(
1
3
)
,
B
i
(
0
)
=
1
3
1
/
6
Γ
(
2
3
)
,
B
i
′
(
0
)
=
3
1
/
6
Γ
(
1
3
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (0)&{}={\frac {1}{3^{2/3}\Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{3^{1/3}\Gamma ({\frac {1}{3}})}},\\\mathrm {Bi} (0)&{}={\frac {1}{3^{1/6}\Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Bi} '(0)&{}={\frac {3^{1/6}}{\Gamma ({\frac {1}{3}})}}.\end{aligned}}}
де
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)}
гамма-функція . Звідси випливає, що визначник Вронського функцій Ai(x ) та Bi(x ) дорівнює 1/π.
При додатних x Ai(x ) — додатна, опукла функція , яка зменшується експоненційно до 0, а Bi(x ) — додатна опукла функція, котра зростає експоненційно. При від'ємних x Ai(x ) та Bi(x ) коливається навколо нуля із дедалі більшою частотою й дедалі меншою амплітудою. Це підтверджується асимптотичними виразами для функцій Ейрі.
При
x
→
∞
{\displaystyle x\rightarrow \infty }
A
i
(
x
)
∼
e
−
2
3
x
3
/
2
2
π
x
1
/
4
B
i
(
x
)
∼
e
2
3
x
3
/
2
π
x
1
/
4
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (x)&{}\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}}
При
x
→
−
∞
{\displaystyle x\rightarrow -\infty }
A
i
(
−
x
)
∼
sin
(
2
3
x
3
/
2
+
1
4
π
)
π
x
1
/
4
B
i
(
−
x
)
∼
cos
(
2
3
x
3
/
2
+
1
4
π
)
π
x
1
/
4
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}\sim {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (-x)&{}\sim {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}}
Функція Ейрі може бути аналітично продовжена на комплексну площину за формулою
A
i
(
z
)
=
1
2
π
i
∫
C
exp
(
t
3
3
−
z
t
)
d
t
,
{\displaystyle \mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}\exp \left({\frac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,}
де інтеграл береться по контуру
C
{\displaystyle C}
y
″
−
x
y
=
0
{\displaystyle y''-xy=0}
x ) та Bi(x ) до цілих функцій на комплексній площині.
Асимптотична формула для Ai(x ) залишається в силі на комплексній площині, якщо брати головне значення кореня x 2/3 і x не лежить на від'ємній дійсній півосі. Формула для Bi(x ) правильна, якщо x лежить в секторі {x ∈C : |arg x | < (1/3)π−δ} для деякого додатного δ. Формули для Ai(−x ) та Bi(−x ) справедливі, якщо x лежить в секторі {x ∈C : |arg x | < (2/3)π−δ}.
Із асимптотичної поведінки функцій Ейрі витікає, що обидві вони мають нескінченне число нулів (коренів) на дійсній півосі. У функції Ai(x ) на комплексній площині немає інших нулів, а а функція Bi(x ) має нескінченне число нулів в секторі {z ∈C : (1/3)π < |arg z | < (1/2)π}.
Для додатних аргументів, функції Ейрі зв'язані з модифікованими функціями Бесселя :
A
i
(
x
)
=
1
π
1
3
x
K
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
,
B
i
(
x
)
=
1
3
x
(
I
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
+
I
−
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\,K_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right),\\\mathrm {Bi} (x)&{}={\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right).\end{aligned}}}
де I ±1/3 и K 1/3 — розв'язок рівняння
x
2
y
″
+
x
y
′
−
(
x
2
+
1
/
9
)
y
=
0
{\displaystyle x^{2}y''+xy'-(x^{2}+1/9)y=0\,}
Для від'ємних аргументів функції Ейрі зв'язані з функціями Бесселя :
A
i
(
−
x
)
=
1
3
x
(
J
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
+
J
−
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
)
,
B
i
(
−
x
)
=
1
3
x
(
J
−
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
−
J
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}={\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left(J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right),\\\mathrm {Bi} (-x)&{}={\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right).\end{aligned}}}
де J ±1/3 — розв'язок рівняння
x
2
y
″
+
x
y
′
+
(
x
2
−
1
/
9
)
y
=
0
{\displaystyle x^{2}y''+xy'+(x^{2}-1/9)y=0\,}
Функції Скорера є розв'язками рівняння
y
″
−
x
y
=
1
/
π
{\displaystyle y''-xy=1/\pi \,}
G
i
(
x
)
=
B
i
(
x
)
∫
x
∞
A
i
(
t
)
d
t
+
A
i
(
x
)
∫
0
x
B
i
(
t
)
d
t
,
H
i
(
x
)
=
B
i
(
x
)
∫
−
∞
x
A
i
(
t
)
d
t
−
A
i
(
x
)
∫
−
∞
x
B
i
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt,\\\mathrm {Hi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}}
Функція Ейрі названа на честь британського астронома Джорджа Бідделя Ейрі , котрий зіткнувся з нею при оптичних дослідженнях (1838 р.). Позначення Ai (x ) запровадив Гарольд Джеффрі .
Ландау Л. Д., Лившиц Е. М.: Квантовая механика , 1989 Розділ: Математические дополнения
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , ( § 10.4) .
Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6 , 379—402.
Olver (1974). Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York. 
