Визначник Вронського

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

Визна́чник Вронського (Вронськіан) — визначник, складений із функцій та похідних. Використовується в теорії диференціальних рівнянь.

Для n функцій визначник Вронського будується з використанням похідних до n – 1 порядку:

$W[f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x)]={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}}.$

Для лінійно залежних функцій визначник Вронського дорівнює нулю.

Для лінійного диференційного рівняння другого порядку

Для однорідного лінійного диференційного рівняння другого порядку у формі

$y''+g(x)y'+h(x)y=0\,$

визначник Вронського, складений із лінійно незалежних розв'язків рівняння визначається функцією g(x).

Нехай $y_{1}(x)$ та $y_{2}(x)$ - два лінійно незалежні розв'яки, тобто

$y_{1}''+g(x)y_{1}'+h(x)y_{1}=0\,$

$y_{2}''+g(x)y_{2}'+h(x)y_{2}=0\,$

Домножаючи перше рівняння на $y_{2}(x)$ а друге на $y_{1}(x)$ і віднімаючи отримуємо

$W'+g(x)W=0\,$

або

$W=Ce^{-\int g(x)dx}\,$.

Цю властивість можна використати для знаходження другого лінійно незалежного розв'язку рівняння, якщо один вже відомий. Рівняння для другого розв'язку є рівнянням першого, а не другого порядку.

Також з цього видно, що визначник Вронського або ніколи не нуль, або ідентичний нулю.

Приклади

• Переконаємося, що вронскіан лінійно-залежних функцій $1,x^{2},3+2x^{2}$ дорівнює нулю:

$W(f_{1},f_{2},f_{3})(x)={\begin{vmatrix}1&x^{2}&3+2x^{2}\\0&2x&4x\\0&2&4\end{vmatrix}}=8x-8x=0,\qquad x\in \mathbb {R} .$

• Перевіримо тепер лінійну незалежність функцій $1,x,x^{3}$

$W(f_{1},f_{2},f_{3})(x)={\begin{vmatrix}1&x&x^{3}\\0&1&3x^{2}\\0&0&6x\end{vmatrix}}=6x,\qquad x\in \mathbb {R} .$

Є точки, де вронскіан відмінний від нуля (у нашому випадку це будь-яка точка, крім x = 0). Тому на будь-якому проміжку ці функції будуть лінійно незалежними.

• Наведемо тепер приклад, коли вронскіан всюди дорівнює нулю, але функції все одно лінійно незалежні. Задамо дві функції:

$f_{1}(x)=x^{2};\qquad f_{2}(x)={\begin{cases}-x^{2},&x<0,\\x^{2},&x\geqslant 0.\end{cases}}$

Обидві функції всюди диференційовних (у тому числі в нулі, де похідні обох функцій звертаються в нуль). Переконаємося, що вронськіан всюди нуль.

$W(f_{1},f_{2})(x)={\begin{cases}{\begin{vmatrix}x^{2}&-x^{2}\\2x&-2x\end{vmatrix}}=0,&\;x<0,\\[15pt]{\begin{vmatrix}x^{2}&x^{2}\\2x&2x\end{vmatrix}}=0,&\;x\geq 0\end{cases}}$

Проте ці функції, очевидно, є лінійно незалежними. Бачимо що рівність вронськіана нулю не тягне за собою лінійної залежності у випадку довільного вибору функцій.

Джерела

Романко В.К. Главы 5 и 6 // Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. — С. 158-164, 174-177. — (Технический университет). — 3000 экз. — ISBN 5-93208-097-3

Посилання

• http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=2164 [Архівовано 14 травня 2011 у Wayback Machine.]
• http://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/wronskian.aspx [Архівовано 28 березня 2021 у Wayback Machine.]
• http://mathworld.wolfram.com/Wronskian.html [Архівовано 1 квітня 2010 у Wayback Machine.]