Хвіст ластівки (поверхня)
Хвіст ластівки (англ. swallow tail) — нерегулярна поверхня в тривимірному просторі, визначити яку можна декількома еквівалентними способами. Розглянемо многочлен від змінної , що залежить від коефіцієнтів (і змінна, і коефіцієнти передбачаються дійсними). Кожній трійці коефіцієнтів однозначно відповідає многочлен , а також точка в просторі з декартовими координатами . Тоді «хвіст ластівки» визначається як поверхня в просторі з координатами , точкам якої відповідають багаточлени , які мають кратні корені.
Поверхня має особливість у вигляді ребра повернення і лінії самоперетину, при цьому ребро повернення має вигляд напівкубічної параболи, що має особливість у вигляді точки повернення (каспу). Поверхня розбиває простір на три області, що відповідають числам дійсних коренів многочлена . Саме, в області, що має вигляд криволінійної піраміди, ребрами якої є лінія самоперетину і дві гілки напівкубічної параболи, має 4 дійсних корені, в прилеглій до неї області — два, і в області, що залишилась — нуль.
Хвіст ластівки знаходить численні застосування в теорії катастроф і теорії біфуркацій. Зокрема, він є поверхнею критичних значень (образом множини критичних точок) одного з стійких ростків гладких відображень . Хвіст ластівки є стратифікованим многовидом.
Користуючись даним означенням, можна отримати формулу, що задає хвіст ластівки параметрично:
Поверхня хвіст ластівки була детально вивчена Кронекером в 1878 році, вона зустрічається також в роботах Келі того ж часу, присвячених особливостям розповсюджуються хвильових фронтів і каустик. [1]
У 1983 році іспанський художник Сальвадор Далі під враженням від робіт французького математика Рене Тома в області теорії катастроф написав картину «Хвіст ластівки», що являє собою просту каліграфічну композицію на світлому фоні, в центрі якої зображено переріз поверхні в просторі площиною — крива з точкою самоперетину і двома напівкубічними точками повернення. На цій картині, що стала останнім твором художника, можна бачити також кубічну параболу, стилізовані знаки інтеграла й фрагменти музичних інструментів.[2] [3] [4]
- Арнольд В. И. Теория катастроф, — Любое издание.
- Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
- Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей, — М.: Мир, 1988.
- Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов, — М.: Фазис, 1996.
- В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Теория бифуркаций.
- ↑ Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей. — стр. 8.
- ↑ Ласточкин хвост — последнее произведение Сальвадора Дали [Архівовано 11 січня 2013 у Wayback Machine.].
- ↑ Дали Сальвадор. Биография[недоступне посилання з липня 2019].
- ↑ Dalí, Salvador, ‘Gala, Velásquez and the Golden Fleece’ (9 May 1979). Reproduced in-part in Robert Descharnes, Dalí, the Work, the Man (New York: Harry N. Abrams, 1984) 420. Originally published in French as Dalí, l'oeuvre et l'homme (Lausanne: Edita, 1984).