Теорема про первісний елемент

Теорема про первісний елемент — твердження в теорії полів, розділі математики, що дає необхідні і достатні умови для того щоб скінченне розширення було простим.

Твердження теореми

Нехай $F$ і $K$ довільні поля, і $K$ скінченне розширення поля $F$. Розширення є простим тоді і тільки тоді, якщо кількість полів $L$ таких що $F\subseteq L\subseteq K$ є скінченною.

Доведення

Нехай $F$ і $K$ — поля, і степінь розширення $[K:F]=n$ — скінченне число. Припустимо $K=F(\alpha )$. Оскільки розширення $K/F$ — скінченне, то елемент$\alpha$ є алгебраїчним над $F$. Нехай $m(x)$ — мінімальний многочлен $\alpha$ над $F$. Позначимо поле $L$ таке що $F\subseteq L\subseteq K$ і $m'(x)$ — мінімальний многочлен елемента $\alpha$ над $L$. Якщо $L'$ — поле породжене коефіцієнтами многочлена $m'(x)$ то мінімальним многочленом $\alpha$ над $L'$ теж є $m'(x)$ і $L'\subseteq L$. Згідно з властивостями мінімального многочлена, оскільки $m(\alpha )=0$, маємо $m'(x)|m(x)$, отже: $[K:L]=\deg(m'(x))=[K:L']\,.$ Оскільки $L'\subseteq L$, звідси випливає $L'=L$. Тобто довільне проміжне поле $F\subseteq L\subseteq K$ відповідає полю породженому коефіцієнтами деякого дільника многочлена $f(x)$ зі старшим коефіцієнтом рівним одиниці. Оскільки многочлен $f(x)$ має скінченну кількість таких дільників, існує лише скінченна кількість таких підполів $K$, що містять $F$.

Нехай навпаки існує скінченна кількість таких полів $L$. Якщо $F$ є скінченним полем, тоді скінченним є і поле $K$, і всі такі розширення породжуються одним елементом. Припустимо тепер, що $F$ (і також $K$) є нескінченним полем. Нехай $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ - базис $K$ над $F$. Тоді $K=F(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$. Для доведення достатньо розглянути випадок двох елементів. Загальний випадок тоді одержується за допомогою математичної індукції. Отже візьмемо $K=F(\beta ,\gamma )$. Розглянемо множину елементів $\{\beta +a\gamma \}$ для $a\in F^{\times }$. Згідно з припущенням, ця множина є нескінченною, проте існує лише скінченна кількість полів між $K$ і $F$; відповідно деякі два елементи породжують одне розширення $L$ поля $F$, наприклад $\beta +a\gamma$ і $\beta +b\gamma$. Це поле $L$ містить

${\frac {(\beta +a\gamma )-(\beta +b\gamma )}{a-b}}=\gamma$

І

${\frac {(\beta +a\gamma )/a-(\beta +b\gamma )/b}{1/a-1/b}}=\beta$

Отже взявши $\alpha =\beta +a\gamma$, одержуємо

$F(\alpha )=L=F(\beta ,\gamma )=K.$

Сепарабельні розширення

Важливим наслідком теореми є факт, що довільне скінченне сепарабельне розширення є простим.

Для несепарабельних розширень, це твердження може не виконуватися. Характеристика таких розширень рівна деякому простому числу p. Розглянемо, наприклад поле K:

F_p(T, U),

визначене як поле раціональних функцій із змінними T і U і коефіцієнтами в скінченному полі F_p з p елементами. Нехай L розширення поля, породжене додаванням до K кореня степеня p елементів T і U. Тоді розширення L/K є скінченним розширенням степеня p², отже такий же степінь має мати мінімальний многочлен первісного елемента. Проте для довільного $\alpha \in L$, елемент α^p належить K.

Див. також

• Розширення поля
• Скінченне розширення
• Просте розширення поля

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)

Посилання

• Теорема про первісний елемент на сайті planetmath.org [Архівовано 18 липня 2009 у Wayback Machine.]