Власні елементи орбіти
Власні елементи орбіти — параметри, що характеризують орбіту небесного тіла під час його руху під впливом збурень. Власні елементи практично не змінюються з часом, на відміну від оскулюючих елементів, які непостійні і в кожний момент часу визначаються як звичайні елементи орбіти у припущенні, що збурення відсутні. Отже, власні елементи є безпосередніми характеристиками орбіти тіла, не зміненими зовнішніми чинниками.
Опис[ред. | ред. код]
Оскулюючі елементи[ред. | ред. код]
В задачі двох тіл орбіта небесного тіла має форму конічного перетину, а форма орбити, її положення в просторі і положення тіла на ній однозначно задаються шістьма параметрами, які називаються елементами орбіти. Один з можливих наборів елементів, який буде використовуватись далі — велика піввісь , ексцентриситет , нахил , довгота висхідного вузла , довгота перицентру і середня довгота [ком. 1][2][3][4].
Однак за наявності більш ніж двох тіл у системі взаємодія між ними призводить до того, що орбіти тіл вже не можна описати в такий спосіб. Однак на практиці, наприклад, у Сонячній системі орбіти планет не надто відрізняються від конічних перетинів, і їх можна описати звичайними елементами орбіти, однак у цьому випадку вони змінюються з часом. Для кожного моменту часу елементи орбіти, які б точно описували рух тіла, якби в цей момент всі збурення зникли, називаються оскулюючими елементами орбіти[3].
Функція збурення[ред. | ред. код]
Функція збурення — це потенціал гравітаційного взаємодії з іншими тілами системи, крім центрального[ком. 2][6]. Від неї залежить зміна оскулюючих елементів з часом: цей зв'язок виражається за допомогою планетних рівнянь Лагранжа[7].
Для оцінки того, як змінюються елементи орбіти з часом, можна уявити систему з масивним центральним тілом та двома тілами значно меншої маси. Тоді можна розглянути, як рухатиметься тіло дуже малої маси — пробна частинка — у полі тяжіння центрального тіла, з урахуванням збурень від двох інших тіл. Функцію збурення для пробної частинки можна приблизно виразити через елементи орбіт[ком. 3][8]:
де — середній рух (середня кутова швидкість руху по орбіті)[9], елементи орбіти без індексів відносяться до пробної частинки, з індексами — до збурюючих тіл. Значення наведені нижче[10]:
У даних формулах — маси, відповідно, збурюючого тіла з індексом та центрального тіла. — коефіцієнти Лапласа, визначені наступним чином[11]:
Символи означають[10]:
Далі проводиться перехід від елементів орбіти до наступних коефіцієнтів, через які планетні рівняння Лагранжа записуються зручніше[12]:
Аналогічно визначаються коефіцієнти для збурюючих тіл. Тоді вираз для записуються в наступному вигляді[13]:
Планетні рівняння Лагранжа в коефіцієнтах записуються так[10]:
де точка над символом означає похідну за часом. Величини визначаються при аналізі руху збурюючих тіл під впливом центрального тіла та іншого збурюючого тіла, і з урахуванням цього система диференціальних рівнянь має розв'язок[14]:
Тут — час, а — константи, які залежать від початкових умов. — величини, що залежать від параметрів орбіти збурюючих тіл, а також від великої півосі орбіти пробної частинки, але не від інших елементів орбіти. Останні чотири параметри змінюються з часом. Такі ж за формою розв'язки виходять і при розгляді більшої кількості збурюючих тіл[15].
Власні елементи[ред. | ред. код]
Отримані рішення мають наочну геометричну інтерпретацію. Для цього вводяться такі величини[16]:
- ,
- .
Спочатку можна розглянути окремий розв'язок . З визначення даних величин випливає, що точка на площині має радіус-вектор довжиною , що утворює кут з віссю . З урахуванням виду цього розв'язку можна представити його як суму двох векторів: перший з'єднує початок координат з точкою , має модуль і утворює кут, який можна назвати , з віссю . Другий вектор з'єднує точки і , має модуль і утворює кут з віссю [16].
Таким чином, зміна оскулюючих елементів орбіти частинки можна представити як рух у площині . У цих координатах частинка рівномірно рухається по колу з радіусом навколо точки , яка, у свою чергу, переміщується складним чином. Аналогічні міркування та висновки можна отримати для розв'язку . Значення називаються власними елементами орбіти, які практично не змінюються з часом[ком. 4], так що їх можна вважати фундаментальними властивостями орбіти частинки. Значення називають збуреними елементами — вони змінюються з часом і залежать від збурень[18].
Проведений вище аналіз не показує відмінностей між оскулюючою та власною великою піввіссю орбіти, оскільки в ньому не бралися до уваги короткоперіодичні збурення, проте тільки такі збурення впливають на велику піввісь. Оскільки на тривалих проміжках часу внесок короткоперіодичних збурень «усереднюється» і зводиться до нуля, велика піввісь не демонструє довгострокових змін[17][19].
Власні елементи є квазі-інтегралами руху та залишаються незмінними протягом дуже тривалого часу. Вони відображають певним чином «усереднені» за часом характеристики руху небесного тіла, у яких виключено вплив коротко- та довгоперіодичних збурень[20].
Існують різні способи обчислення власних елементів на основі спостережуваних величин. У загальних рисах, для цього спочатку складається модель сил, що діють на досліджуване тіло, проводиться усереднення елементів орбіти за часом, щоб позбутися впливу короткоперіодичних збурень, а потім проводиться обчислення інших збурень і віднімання вимушених елементів від оскулюючих[17][20][21].
Власні елементи широко використовуються для вивчення, наприклад, динаміки поясу астероїдів, а також для поділу астероїдів на сім'ї[20][21]. У наступній таблиці як приклад представлені власні та оскулюючі елементи Церери на епоху MJD 59800,0 (9 серпня 2022)[22][23]:
, а. е. | , ° | ||
---|---|---|---|
Власні | 2,7612 | 0,115 | 9,660 |
Оскулюючі | 2,7666 | 0,0786 | 10,587 |
Сім'ї Хіраями[ред. | ред. код]
У 1918 році Кійоцуґу Хіраяма побудував діаграми (, ) та (, ) для відомих астероїдів і виявив, що в деяких областях на діаграмі спостерігаються скупчення астероїдів. Спочатку Хіраяма будував діаграми для оскулюючих елементів, але згодом став використовувати власні елементи, для яких скупчення були краще помітні[17][20][24].
Таким чином було виділено безліч сімей, наприклад, сім'ї Феміди, Еос, Короніди, Марії та інші. Вважається, що сім'ї астероїдів виникають при повному або частковому руйнуванні «батьківського» астероїда в результаті зіткнення: фрагменти набувають відносну швидкість, невелику порівняно зі швидкістю руху по орбіті, і залишаються близько одне до одного у фазовому просторі власних елементів орбіти протягом тривалого часу[21].
Виноски[ред. | ред. код]
- ↑ Для останніх двох величин справедливі вирази і , де — аргумент перицентру, — середня аномалія[1].
- ↑ У більш загальному сенсі збурюючою функцією можна також описувати всі елементи гравітаційного потенціалу, додаткові до того, що виникає в моделі точкового або сферично симетричного центрального тіла. Наприклад, якщо центральне тіло має сплюснуту форму, то викликані цим відмінності потенціалу також можна описувати збурюючою функцією[1][5].
- ↑ У цій формулі не розглядаються члени, що включають середню довготу. Ця величина змінюється швидко (зі швидкістю орбітального руху), і на тривалих проміжках часу внесок пов'язаних з нею збурень «усереднюється» і зводиться нанівець[1].
- ↑ Значення змінюються з часом, але рівномірно, тому для повного опису системи достатньо додати величини, що описують швидкість зміни цих елементів - частоти, відповідно, і [17].
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ а б в Мюррей, Дермотт, 2010.
- ↑ Кононович, Мороз, 2004, с. 64—66.
- ↑ а б Karttunen et al., 2016, с. 126—128.
- ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 241.
- ↑ Кононович, Мороз, 2004.
- ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 238—240, 277.
- ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 263—265.
- ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 287, 295.
- ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 48.
- ↑ а б в Мюррей, Дермотт, 2010, с. 296.
- ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 248, 296.
- ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 289—290, 296.
- ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 296—297.
- ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 297.
- ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 297—298, 318.
- ↑ а б Мюррей, Дермотт, 2010, с. 298.
- ↑ а б в г Knezevic Z., Lemaître A., Milani A. The Determination of Asteroid Proper Elements. — 2002-03-01.
- ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 295—300, 320.
- ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 261—263, 265—272.
- ↑ а б в г Knežević Z., Milani A. Asteroid Proper Elements: The Big Picture // Symposium - International Astronomical Union. — . — Vol. 160. — P. 143–158. — ISSN 0074-1809. — DOI: .
- ↑ а б в Knežević Z. Computation of Asteroid Proper Elements: Recent Advances // Serbian Astronomical Journal. — 2017. — Т. 194 (1 грудня). — С. 1–8. — DOI: .
- ↑ (1) Ceres Summary. AstDyS. Процитовано 1 листопада 2022.
- ↑ (1) Ceres Proper elements. AstDyS. Процитовано 1 листопада 2022.
- ↑ Мюррей, Дермотт, 2010, с. 320.
Література[ред. | ред. код]
- Мюррей К., Дермотт С. Динамика Солнечной системы / пер. с англ. под ред. И. И. Шевченко. — М. : Физматлит, 2010. — 588 с. — ISBN 978-5-9221-1121-8.
- Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий курс астрономии. — 2-е изд., испр. — М. : УРСС, 2004. — 544 с. — ISBN 5-354-00866-2.
- Karttunen H., Kroger P., Oja H., Poutanen M., Donner K. J. Fundamental Astronomy. — 6th Edition. — Berlin; Heidelberg; N. Y. : Springer, 2016. — 550 p. — ISBN 978-3-662-53045-0.