Кільце цілих чисел

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Кільце цілих чиселмножина цілих чисел, з операціями додавання, віднімання і множення.

Більш загально кільце цілих чисел числового поля K, що часто позначається OK (чи \mathcal O_K) — кільце цілих алгебраїчних чисел, що містяться в K.

Використовуючи цю систему позначень, можна записати \Z = \mathcal O_{\Q}, оскільки \Z є кільцем цілих чисел поля \Q раціональних чисел. В алгебраїчній теорії чисел через це елементи \Z часто називають «раціональними цілими числами».

Кільце цілих чисел OK є \Z-модулем; він є вільним модулем і тому має цілочисельний базис, тобто існують елементи b1,...,bn ∈ OK такі, що довільний елемент x кільця OK може єдиним чином бути записаний у виді:

x=\sum_{i=1}^na_ib_i,

де a_i \in \Z. Ранг n OK як вільного Z-модуля рівний степеню K як розширення поля Q.

Кільце цілих чисел числового поля є кільцем Дедекінда.

Приклади[ред.ред. код]

Якщо pпросте число, ζ — корінь з одиниці степеня p, K = \Q (\zeta) — відповідне кругове поле, тоді цілочисельний базис OK=Z[ζ] рівний (1, ζ, ζ2, ..., ζp−2).

Якщо d — ціле число вільне від квадратів, K = Q(d 1/2) — відповідне квадратичне поле, тоді цілочисельний базис OK рівний (1, (1 + d1/2)/2) якщо d ≡ 1 (mod 4) і рівний (1, d 1/2) якщо d ≡ 2 чи 3 (mod 4).

Кільце p-адичних цілих чисел \Z_p є кільцем цілих чисел p-адичних чисел \Q_p.

Посилання[ред.ред. код]