Ціле алгебраїчне число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Цілими алгебраїчними числами називаються комплексні (і зокрема дійсні) корені многочленів з цілими коефіцієнтами і із старшим коефіцієнтом, рівним одиниці.

Приклади цілих алгебраїчних чисел[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

  • По відношенню до додавання і множення комплексних чисел, цілі алгебраїчні числа утворюють кільце \Omega. Очевидно \Omega є підкільцем поля алгебраїчних чисел і містить всі звичайні цілі числа. Дане кільце є кільцем Дедекінда.
  • Нехай u — деяке комплексне число. Розглянемо кільце \mathbb{Z}[u], породжене додаванням u до кільця звичайних цілих чисел \mathbb{Z}. Воно утворене всілякими значеннями f(u), де f(z) — многочлен з цілими коефіцієнтами. Тоді має місце наступний критерій: число u є цілим алгебраїчним числом тоді і тільки тоді, коли \mathbb{Z}[u]скінченнопороджена абелева група.
  • \alpha \in K є цілим алгебраїчним числом тоді і тільки тоді коли існує скінченнопороджений \mathbb{Z}-підмодуль M \subset \mathbb{C} такий що \alpha M \subseteq M.
  • Для кожного алгебраїчного числа u існує натуральне число n таке, що nu — ціле алгебраїчне число. Тобто поле алгебраїчних чисел є полем часток кільця цілих алгебраїчних чисел.
  • Як і для всіх алгебраїчних чисел для довільного цілого алгебраїчного числа \alpha існує мінімальний многочлен, тобто многочлен f(x) \in \Q [x] найменшого можливого степеня із старшим коефіцієнтом рівним 1 для якого виконується f(α) = 0. Для цілих алгебраїчних чисел і тільки для них при цьому всі коефіцієнти цього многочлена насправді будуть цілими числами, тобто f(x) \in \mathbb{Z}[x]. Всі інші корені f(x) теж будуть цілими алгебраїчними числами для яких f(x) буде мінімальним многочленом. Такі числа називаються спряженими до \alpha.
  • Корені многочлена з цілими алгебраїчними коефіцієнтами і старшим коефіцієнтом 1 є цілими алгебраїчними числами, зокрема корінь будь-якого степеня з цілого алгебраїчного числа теж є цілим алгебраїчним числом.
  • Кільце цілих алгебраїчних чисел є цілозамкнутим. Воно є цілим замиканням кільця \Z звичайних (раціональних цілих чисел.)
  • Кільце цілих алгебраїчних чисел є кільцем Безу.
  • Дійсні цілі алгебраїчні числа утворюють всюди щільну підмножину дійсних чисел.

Одиниці (оборотні елементи) кільця цілих алгебраїчних чисел[ред.ред. код]

Ціле алгебраїчне число ε називається алгебраїчною одиницею (коротко — одиницею), якщо воно є оборотним в кільці цілих алгебраїчних чисел, тобто якщо 1/ε — ціле алгебраїчне число. Одиниця ділить будь-яке ціле алгебраїчне число. Число, обернене до одиниці теж є одиницею; числа спряжені з одиницею, є одиницями; кожен дільник одиниці є одиницею; добуток скінченної кількості одиниць є одиницею. Ціле алгебраїчне число буде одиницею тоді і тільки тоді, коли добуток всіх його спряжених рівне \pm 1. Корені k-го степеня з числа 1 є одиницями, причому кожна з них по модулю рівна 1. Існує нескінченна множина інших одиниць, не рівних по модулю 1. Наприклад, числа 2 -\sqrt 3 і 2 + \sqrt 3 є одиницями як корені многочлена x^2 - 4x + 1\,.

Два цілих алгебраїчних числа називаються асоційованими якщо вони відрізняються множником, що є одиницею. Є ще одна важлива відмінність кільця цілих алгебраїчних чисел від кільця цілих раціональних чисел. У першому не можна ввести поняття нерозкладного цілого числа (аналог простого числа). Це випливає хоч би з того, що корінь з будь-якого цілого алгебраїчного числа є цілим алгебраїчним числом.

Посилання[ред.ред. код]