Куля (геометрія)
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Ку́ля — це множина всіх точок простору, що знаходяться від заданої точки O на відстані, не більшій за дану відстань R. При цьому точка O називається центром, а R — радіусом кулі. Будь-який відрізок, який сполучає центр кулі з точкою кульової поверхні, також називається радіусом.
Поверхня кулі називається сферою. Також дуже часто кулею називають частину простору, обмежену сферою.
Зміст |
[ред.] Куля в аналітичній геометрії
— рівняння кулі з центром в точці з координатами (a,b,c) та радіусом R.
Взагалі, рівняння кулі у n-вимірному просторі виглядає як
, де 
— координати її центра.
Куля в 2-вимірному просторі — круг, а в n-вимірному, якщо 
, вона називається гіперкулею.
[ред.] Площа сфери та об'єм кулі
Площу сфери, яка обмежує кулю з радіусом R, можна підрахувати за формулою
, що приблизно дорівнює 
.
Площа поверхні кулі є найменшою серед площ поверхонь стереометричних тіл з однаковим об'ємом.
Об'єм кулі можна знайти за формулою
.
[ред.] Переріз кулі площиною
Будь-який переріз кулі площиною є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину. Радіус такого перерізу знаходиться за формулою
, де R — радіус кулі, l — відстань від центра кулі до перерізу.
Площина, яка проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною, переріз нею кулі — великим кругом, а переріз сфери — великим колом. Радіус великого круга та великого кола дорівнює радіусові кулі. Будь-яка діаметральна площина кулі є її площиною симетрії.
[ред.] Частини кулі
[ред.] Сегмент
Сегмент кулі — це та її частина, що утворюється внаслідок перерізу площиною. Основними величинами, які характеризують сегмент, є радіус кулі R та довжина перпендикуляра, опущеного на центр перерізу зі сфери, H. Довжина цього перпендикуляра також дорівнює різниці між радіусом R і відстанню від центра до перерізу l, тобто H = R − l. Таким чином об'єм сегмента дорівнює
,
а площа поверхні —
[ред.] Зріз
Зріз — це стереометричне тіло, утворене перерізами кулі двома паралельними площинами. Він характеризується такими величинами:
Об'єм зрізу знаходиться за формулою
,
а площа поверхні —
.
[ред.] Сектор
Сектор складається з кульового сегмента та конуса, основа якого збігається з основою сегмента, а вершина — з центром кулі. Сектор характеризують радіус кулі R та довжина перпендикуляра, опущеного на центр основи конуса зі сфери, H. Об'єм сектора:
.
Площа його поверхні:
.
[ред.] Вписані й описані кулі
[ред.] Описана куля
Куля називається описаною навколо багатогранника, якщо всі вершини багатогранника лежать на поверхні кулі (сфери). В цьому випадку багатогранник називають вписаним в кулю. Центр кулі, описаної навколо багатогранника, рівновіддалений від всіх його вершин, тобто є точкою перетину площин, проведених через середини ребер багатогранника (призми, піраміди) перпендикулярно до них. Відстань від центра кулі до вершин багатогранника — його радіус.
[ред.] Вписана куля
Куля називається вписаною в багатогранник, якщо всі грані багатогранника дотикаються до кулі. Багатогранник у цьому випадку називається описаним навколо кулі (сфери). Центр кулі, вписаної у багатогранник, рівновіддалений від усіх його граней. Він є точкою перетину півплощин, проведених через ребра двогранних кутів, утворених двома суміжними гранями, які поділяють цей кут навпіл. Відстань від центра кулі до граней — його радіус.
[ред.] Додаткові відомості
Куля так само, як циліндр і конус, є тілом обертання. Вона утворюється при обертанні півкруга навколо його діаметра як осі. Цей діаметр називають віссю кулі, а його кінці — полюсами кулі.
Відрізок, який сполучає дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром. Кінці будь-якого діаметра називаються діаметрально протилежними точками кулі.
