Метод невизначених коефіцієнтів

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

Метод невизначених коефіцієнтів — підхід для віднайдення частинного розв'язку для певних неоднорідних звичайних диференціальних рівнянь і Рекурентне співвідношення рекурентних співвідношень. Для знаходження найкращого можливого частинного розв'язку , робиться припущення в підхожій формі, яке потім тестується диференціюванням рівняння. Для складних рівнянь, метод Лагранжа потребує менше часу.

Невизначені коефіцієнти не настільки загальний метод як метод Лагранжа, оскільки вони працюють лише для диференціальних рівнянь певного виду.

Опис методу

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння виду

$a_{n}y^{(n)}+a_{(n-1)}y^{(n-1)}+...+a_{1}y'+a_{0}y=g(x).$

Метод полягає у знаходженні загального однорідного розв'язку $y_{c}$ для відповідного однорідного диференціального рівняння.

$a_{n}y^{(n)}+a_{(n-1)}y^{(n-1)}+...+a_{1}y'+a_{0}y=0,$

і окремого розв'язку $y_{p}$ лінійного неоднорідного диференціального рівняння. тоді загальний розв'язок $y$ неоднорідного звичайного диференціального рівняння буде

$y=y_{c}+y_{p}.$

Якщо $g(x)$ є сумою двох функцій $h(x)+w(x)$ і ми кажемо, що $y_{p_{1}}$ це розв'язок базований на $h(x)$ і $y_{p_{2}}$ розв'язок базований $w(x)$. Тоді, використання принципу суперпозиції дає нам окремий розв'язок $y_{p}$:

$y_{p}=y_{p_{1}}+y_{p_{2}}.$

Типові форми окремих розв'язків

Задля віднайдення окремого розв'язку, ми маємо вгадати його форму, з деякими коефіцієнтами як змінними, які ми повинні знайти. Таблиця деяких типових функцій і здогадок до них:

Функція від x	Форма y
$ke^{ax}\!$	$Ce^{ax}\!$
$kx^{n}\mathrm {,} \;n=0,1,2,\cdots \!$	$K_{n}x^{n}+K_{n-1}x^{n-1}+\cdots +K_{1}x+K_{0}\!$
$k\cos(ax)\;\;\mathrm {or} \;\;k\sin(ax)\!$	$K\cos(ax)+M\sin(ax)\!$
$ke^{ax}\cos(bx)\;\;\mathrm {or} \;\;ke^{ax}\sin(bx)\!$	$e^{ax}(K\cos(bx)+M\sin(bx))\!$
$\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}x^{i}\right)e^{ax}\cos(bx)\;\;\mathrm {or} \;\;\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}x^{i}\right)e^{ax}\sin(bx)\!$	$e^{ax}\left(\left(\sum _{i=1}^{n}Q_{i}x^{i}\right)\cos(bx)+\left(\sum _{i=1}^{n}R_{i}x^{i}\right)\sin(bx)\right)$

Якщо вираз окремого розв'язку зустрічається в однорідному розв'язку, необхідно помножити його на достатньо великий степінь x для отримання незалежних розв'язків. Якщо функція від x це сума термів з наведеної таблиці, окремий інтеграл можна вгадати як суму відповідних термів для y.

Резонанс і невизначені коефіцієнти

Розглянемо рівняння

$x''(t)+16x(t)=8\cos \omega t$

однорідний розв'язок $x_{h}=c_{1}\cos 4t+c_{2}\sin 4t,$ тобто $\omega _{0}=4,$ якщо частота вхідної функції (власна частота) також 4, тоді ми повинні помножити пробний розв'язок на $t.$ Отже пробний розв'язок такий:

$x(t)={\begin{cases}d_{1}\cos \omega t+d_{2}\sin \omega t,&{\mbox{if }}\omega \neq 4\\t(d_{1}\cos \omega t+d_{2}\sin \omega t)&{\mbox{if }}\omega =4\end{cases}}$

Таким чином, ми спостерігаємо резонанс коли $\omega _{0}=\omega .$

Приклад

Добуток праворуч

$y''-2y'-3y=x^{3}e^{5x}\cos(3x)$

Тут $g(x)$ - це добуток многочлена третього степеня, експоненційної функції і косинуса. Важливо пам'ятити, що кількість невизначених коефіцієнтів в $y$ дорівнює кількості відмінних доданків (після спрощення виразу).

• Правильно: $y=(Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D)e^{5x}\cos(3x)+(Ex^{3}+Fx^{2}+Gx+H)e^{5x}\cos(3x).$
• Неправильно: $y=(Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D)Ee^{5x}(F\cos(3x)+G\sin(3x)).$

Складніший приклад

$y''+25y=4x^{3}\sin(5x)-2e^{3t}\cos(5t)$

Спочатку запишемо однорідний розв'язок:

$y_{c}=C_{1}\cos(5x)+C_{2}\sin(5t).$

Тут нам потрібно знайти $y_{p1}$ і $y_{p2}$. Маємо:

$y_{p1}=x(Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D)\cos(5x)+x(Ex^{3}+Fx^{2}+Gx+H)\sin(5x),$

$y_{p2}=Ie^{3x}\cos(5x)+Je^{3x}\sin(5x).$

Зауважте, що нам довелось домножити $y_{p1}$ на $x$, щоб він не мав спільних доданків із однорідним розв'язком.