Алгебраїчна функція

Алгебраїчна функція, також алгебрична функція — функція, що задовольняє алгебраїчному рівнянню.

Визначення і приклади

Загалом, функція кількох змінних $u = f(x, y, z, \dots)$ зветься алгебраїчною в точці (x₀, y₀, z₀, ..), якщо існує окіл цієї точки, де функція задовольняє рівнянню виду:

$P_n(x, y, z, \dots) u^n + P_1(x,y,z, \dots)u^{n-1} + \dots + P_n (x, y, z, \dots) =0\,$,

де $P_0, P_1, \dots, P_n\,$ це многочлени відносно x, y, z.

Наприклад, функція дійсного змінного $F(x) = \sqrt{1-x^2}$ є алгебраїчною на інтервалі $(-1,1)$ в полі дійсних чисел, оскільки вона задовольняє рівнянню

$\,\!F^2 + x^2 = 1.$

Існує аналітичне продовження функції $F(x) = \sqrt{1-x^2}$ на комплексну площину, з вирізаним відрізком $[-1, 1]$ або з двома вирізаними променями $(-\infty, -1]$ і $[1,\infty)$. У цій області отримана функція комплексного змінного є алгебраїчною і аналітичною.

Алгебраїчні функції, що є многочленами або їх частками, називають раціональними; інші алгебраїчні функції називають ірраціональними.

Відомо, що якщо функція є алгебраїчною в точці, то вона є і аналітичною в даній точці. Зворотне невірно. Функції, що є аналітичними, але що не є алгебраїчними, називаються трансцендентними функціями.

Алгебраїчні рівняння

Рівняння виду

$\,\!P(x_1,\ldots,x_n) = Q(x_1, \ldots, x_n),$

де P і Q многочлени з коефіціентами з поля раціональних чисел, називається алгебраїчним рівнянням.

Див. також

• Арифметична функція
• Раціональні функції
• Аналітичні функції
• Трансцендентні функції

Джерела інформації

• Українська радянська енциклопедія. У 12-ти томах. / За ред. М. Бажана. — 2-ге вид. — К., 1974—1985.