Теорема Лебега про мажоровану збіжність

Теоре́ма Лебе́га про мажоро́вану збі́жність — теорема у функціональному аналізі, теорії ймовірностей і суміжних дисциплінах, що визначає достатні умови рівності границі інтегралів Лебега від збіжної послідовності функцій і інтеграла Лебега від граничної функції цієї послідовності. Твердження не має аналогу для інтеграла Рімана і є однією із значних теоретичних переваг інтеграла Лебега.

Формулювання [ред.]

Нехай $(f_{n})_{n \in \N}$ — вимірні функції на просторі з мірою $(X,\mathcal{F},\mu)$ , що приймають значення в $\R$ чи $\C$ і задовольняють умови :

Послідовність функцій $(f_{n})_{n \in \N}$ поточково збігається до функції $f \;$ на всій множині $X$ .

Існує функція $g \in L^1,$ така що :

$\forall n \in \N, \forall x \in X, |f_{n}(x)|\leqslant g(x)$

Тоді $f \in L^1$ і

$\lim_{n \to \infty} \int_X |f_n-f|d\mu= 0$

при чому виконується :

$\lim_{n \to \infty}\, \int_{X}{\, f_{n}d\mu}= \int_{X}{\, \lim_{n \to \infty}\, f_{n}d\mu} = \int_{X}{\, f}d\mu$

Доведення [ред.]

Доведемо, що $f \in L^1$ :

оскільки $f\;$ є границею вимірних функцій, вона є вимірною. Також оскільки для усіх $n\;$ виконується $|f_{n}(x)|\leqslant g(x)$ , то здійснивши граничний перехід одержуємо, $|f(x)|\leqslant g(x), \forall x \in X$ звідки $f \in L^1$ .

Використавши $2g - |f_{n} - f| \geqslant 0$ і застосувавши лему Фату,

$\begin{align} \int_{X}2g \ d\mu &\leqslant \liminf \int_{X} (2g - |f_{n} - f|) \ d\mu\\ \ & = \int_{X} 2g \ d\mu + \liminf \int_{X} - |f_{n} - f| \ d\mu\\ \ & = \int_{X} 2g \ d\mu - \limsup \int_{X} |f_{n} - f| \ d\mu\\ \end{align}$

Оскільки $\int g \ d\mu < \infty \;$ то, $\limsup \int_{X} |f_{n} - f|\ d\mu \leqslant 0$

звідки

$\lim \int_{X} |f_{n} - f|\ d\mu = 0$

скориставшись цією властивістю можна завершити доведення :

$\begin{align} \ & \left|\int_{X}(f_{n}-f)\ d\mu \right| \leqslant \int_{X}|f_{n}-f| \ d\mu\\ \Rightarrow & \left|\int_{X} f_{n}\ d\mu - \int_{X} f \ d\mu \right| \leqslant \int_{X}|f_{n}-f|\ d\mu \rightarrow 0\\ \Rightarrow & \int_{X} f_{n} \ d\mu \rightarrow \int_{X} f \ d\mu \end{align}$

Зауваження [ред.]

Умова мажорованості послідовності $\{f_n\}$ інтегрованою функцією $g$ не може бути опущена, як показує наступний контрприклад. Нехай $(X,\;\mathcal{F},\;\mu)=([0,\;1],\;\mathcal{B},\;m)$ , де $\mathcal{B}$ - борелівська $\sigma$ -алгебра на $[0,\;1]$ , а $m$ - міра Лебега на тому ж просторі. Визначимо

$f_n(x)=\begin{cases} n, & x\in\left[0,\;\dfrac{1}{n}\right); \\[10pt] 0, & x\in\left[\dfrac{1}{n},\;1\right].\end{cases}$

Тоді послідовність $\{f_n\}$ не може бути мажорована інтегрованою функцією, і

$\int\limits_0^1\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n(x)\,m(dx).$

В твердженні теореми достатньо вимагати збіжності майже всюди і виконання нерівностей $|f_n(x)|\leqslant g(x)$ майже всюди.

Справді якщо позначити $N_{k} = \{ x : |f_{k}(x)|\geq g(x), \quad n \in \N \}$ і $N_{0}$ — множина на якій послідовність $f_{k}$ не збігається до f, то $\mu\left( N_{k}\right) = 0$ для всіх $k\;$ . Позначивши $N = \bigcup_{k=0}^{\infty} N_{k}$ маємо $\mu\left( N \right) = 0$ і перевизначивши $f_k = 0, f = 0$ на $N$ маємо, що $f_k , f$ задовольняють всі умови теореми і їх інтеграли не змінюються оскільки перевизначення відбулося на множині міри нуль.

Застосування до теорії ймовірностей [ред.]

Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій $\Omega$ , вищенаведена теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай задана послідовність випадкових величин, що сходиться майже напевно: $X_n\to X$ майже напевно. Нехай додатково існує інтегровна випадкова величина $Y$ , така що $\forall n\in\N\quad|X_n|\leqslant Y$ майже напевно. Тоді випадкові величини $X_n,\;X$ інтегровні і