Теорема Лебега про мажоровану збіжність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоре́ма Лебе́га про мажоро́вану збі́жність — теорема у функціональному аналізі, теорії ймовірностей і суміжних дисциплінах, що визначає достатні умови рівності границі інтегралів Лебега від збіжної послідовності функцій і інтеграла Лебега від граничної функції цієї послідовності. Твердження не має аналогу для інтеграла Рімана і є однією із значних теоретичних переваг інтеграла Лебега.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай (f_{n})_{n \in \N}вимірні функції на просторі з мірою (X,\mathcal{F},\mu), що приймають значення в \R чи \C і задовольняють умови :

  • Існує функція g \in L^1, така що :
\forall n \in \N, \forall x \in X, |f_{n}(x)|\leqslant g(x)

Тоді f \in L^1 і

\lim_{n \to \infty} \int_X |f_n-f|d\mu= 0

при чому виконується :

\lim_{n \to \infty}\, \int_{X}{\, f_{n}d\mu}= \int_{X}{\, \lim_{n \to \infty}\, f_{n}d\mu} =  \int_{X}{\, f}d\mu

Доведення[ред.ред. код]

Доведемо, що  f \in L^1 :

оскільки f\; є границею вимірних функцій, вона є вимірною. Також оскільки для усіх n\; виконується |f_{n}(x)|\leqslant g(x), то здійснивши граничний перехід одержуємо, |f(x)|\leqslant g(x),  \forall x \in X звідки f \in L^1.


Використавши 2g - |f_{n} - f| \geqslant 0 і застосувавши лему Фату,


\begin{align}
\int_{X}2g  \ d\mu &\leqslant \liminf \int_{X} (2g - |f_{n} - f|) \ d\mu\\
 \ & = \int_{X} 2g  \ d\mu + \liminf \int_{X} - |f_{n} - f| \ d\mu\\
 \ & = \int_{X} 2g \ d\mu - \limsup \int_{X} |f_{n} - f|  \ d\mu\\
\end{align}

Оскільки \int g \ d\mu < \infty \; то,  \limsup \int_{X} |f_{n} - f|\ d\mu \leqslant 0

звідки

\lim  \int_{X} |f_{n} - f|\ d\mu = 0

скориставшись цією властивістю можна завершити доведення :


\begin{align}
\ & \left|\int_{X}(f_{n}-f)\  d\mu \right| \leqslant \int_{X}|f_{n}-f| \ d\mu\\
\Rightarrow &  \left|\int_{X} f_{n}\  d\mu - \int_{X} f \ d\mu \right| \leqslant \int_{X}|f_{n}-f|\ d\mu \rightarrow 0\\
\Rightarrow & \int_{X} f_{n} \ d\mu  \rightarrow \int_{X} f \ d\mu 
\end{align}


Зауваження[ред.ред. код]

  • Умова мажорованості послідовності \{f_n\} інтегрованою функцією g не може бути опущена, як показує наступний контрприклад. Нехай (X,\;\mathcal{F},\;\mu)=([0,\;1],\;\mathcal{B},\;m), де \mathcal{B} - борелівська \sigma-алгебра на [0,\;1], а m - міра Лебега на тому ж просторі. Визначимо
f_n(x)=\begin{cases}
n, & x\in\left[0,\;\dfrac{1}{n}\right); \\[10pt]
0, & x\in\left[\dfrac{1}{n},\;1\right].\end{cases}
Тоді послідовність \{f_n\} не може бути мажорована інтегрованою функцією, і
\int\limits_0^1\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n(x)\,m(dx).
  • В твердженні теореми достатньо вимагати збіжності майже всюди і виконання нерівностей |f_n(x)|\leqslant g(x) майже всюди.
Справді якщо позначити N_{k} = \{ x : |f_{k}(x)|\geq g(x), \quad n \in \N \} і N_{0} — множина на якій послідовність f_{k} не збігається до f, то \mu\left( N_{k}\right) = 0 для всіх k\;. Позначивши N = \bigcup_{k=0}^{\infty} N_{k} маємо \mu\left( N \right) = 0 і перевизначивши f_k = 0, f = 0 на N маємо, що f_k , f задовольняють всі умови теореми і їх інтеграли не змінюються оскільки перевизначення відбулося на множині міри нуль.

Застосування до теорії ймовірностей[ред.ред. код]

Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій \Omega, вищенаведена теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай задана послідовність випадкових величин, що сходиться майже напевно: X_n\to X майже напевно. Нехай додатково існує інтегровна випадкова величина Y, така що \forall n\in\N\quad|X_n|\leqslant Y майже напевно. Тоді випадкові величини X_n,\;X інтегровні і

\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{E}X_n=\mathbb{E}X.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]