Функція експоненційного типу

Графік сірої функції $e^{-\pi z^{2}}$, обмежений функцією щільности нормального розподілу у просторі дійсних чисел. Щільність нормального розподілу не є експоненційного типу, але червона і синя функції є її односторонніми наближеннями експоненційного типу $2\pi$.

В комплексному аналізі, галузі математики, голоморфну функцію називають функцією експоненціального типу C, якщо її зростання обмежене експоненційною функцією $e^{C|z|}$, для деякої дійсної константи $C$ при $|z|\to \infty$. Якщо функція має таку властивість, то її можна виразити як певного роду збіжних сум рядів комплексних функцій, а також ясність щодо того, коли можна застосовувати такі прийоми, як сумування за Борелем, чи наприклад, застосувати перетворення Мелліна, або подати фукцію у вигляді розкладу Ейлера–Маклорена. У загальному випадку пояснюється теоремою Начбіна, яка визначає аналогічне поняття Ψ-типу в просторі всіх функцій $\Psi (z)$ порівняно з $e^{z}$.

Основна ідея

Кажуть, що функція $f(z)$, визначена на комплексній площині, є експоненційним типом, якщо існують дійсні константи $M$ і $\tau$ такі, що

$|f(re^{i\theta })|\leq Me^{\tau r}$

при $r\to \infty$. Тут комплексна змінна $z$ записана у формі $z=re^{i\theta }$ аби підкреслити, що границя має виконуватися в усіх напрямках $\theta$. Якщо $\tau$ інфімум усіх таких $\tau$, тоді кажуть, що функція $f$ має експоненційний тип $\tau$.

Наприклад, нехай $f(z)=\sin(\pi z)$. Тоді кажуть що $\sin(\pi z)$ експоненційного типу $\pi$, оскільки $\pi$ є найменшим числом, яке обмежує зростання $\sin(\pi z)$ вздовж уявної осі. Отже, у цьому прикладі не можна застосувати теорему Карлсона, оскільки для її застосування потрібно функції експоненційного типу менше $\pi$. Подібним чином не можна застосовувати формулу Ейлера – Маклауріна, оскільки вона також виражає твердження, що базується на скінченних різниць.

Формальне означення

Про голоморфну функцію $F(z)$ кажуть, що вона експоненційного типу $\sigma >0$, якщо для кожного $\varepsilon >0$ існує дійсне число $A_{\varepsilon }$, що

$|F(z)|\leq A_{\varepsilon }e^{(\sigma +\varepsilon )|z|}$

для $|z|\to \infty$ де $z\in \mathbb {C}$. Кажуть $F(z)$, що вона експоненційного типу, якщо $F(z)$ експоненційного типу $\sigma$ для якогось $\sigma >0$. Число

$\tau (F)=\sigma =\displaystyle \limsup _{|z|\rightarrow \infty }|z|^{-1}\log |F(z)|$

є експоненційним типом $F(z)$. Ця верхня границя означає границю супремуму відносини за межами заданого радіуса, як радіус прагне до нескінченності. Це теж межа, відмінний від максимального коефіцієнта в заданому радіусі, а радіус прагне до нескінченності. Верхня межа може існувати, навіть якщо максимуму на радіусі р не має меж, як Р йде в нескінченність. Наприклад, для функції

$F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{10^{n!}}}{(10^{n!})!}}$

значення

$(\max _{|z|=r}\log |F(z)|)/r$

при $r=10^{n!-1}$ асимптотичному для $(\log 10^{(n-1)!(n-1)-1})/10^{(n-1)!(n-1)-1}$, а тому прямує до нуля, при $n$ до нескінченності, проте $F(z)$ все ж є експоненційним типом 1, у чому можна переконатись розглянувши точку $z=10^{n!}$.

Експоненційний тип відносно симетричного опуклого тіла

Stein, (1957) узагальнив поняття експоненційний тип для цілої функції кількох комплексних змінних. Нехай $K$ опукла, компактна і симетрична підмножина $\mathbb {R} ^{n}$. Відомо, що для кожної такої $K$ існує відповідна норма $\|\cdot \|_{K}$ з властивістю

$K=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{K}\leq 1\}.$

Тобто, $K$ одинична куля в $\mathbb {R} ^{n}$ за мірою $\|\cdot \|_{K}$. Множину

$K^{*}=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:x\cdot y\leq 1{\text{ for all }}x\in {K}\}$

називають полярною множиною, яка також є опуклою, компактною та симетричною підмножиною $\mathbb {R} ^{n}$. До того ж можемо записати

$\|x\|_{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}|x\cdot y|.$

Довизначимо $\|\cdot \|_{K}$ з $\mathbb {R} ^{n}$ до $\mathbb {C} ^{n}$ як

$\|z\|_{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}|z\cdot y|.$

Про цілу функцію $F(z)$ $n$ -комплексних змінних кажуть що вона експоненційного типу відносно $K$ якщо для кожного $\varepsilon >0$ існує дійснозначна константа $A_{\varepsilon }$ така, що

$|F(z)|<A_{\varepsilon }e^{2\pi (1+\varepsilon )\|z\|_{K}}$

для всіх $z\in \mathbb {C} ^{n}$.

Простір Фреше

Набір функцій експоненційного типу $\tau$ можуть утворювати повний рівномірний простір, а саме простір Фреше, до топологічно індукований зліченним сімейством норм

$\|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|.$

Див. також

• Теорема Пелі–Вінера
• Пелі–Вінера простору

Література

• Stein, E.M. (1957), Functions of exponential type, Ann. of Math., 2, 65: 582—592, doi:10.2307/1970066, JSTOR 1970066, MR 0085342