Кватерніон Гурвіца

У математиці кватерніоном Гурвіца (або цілим числом Гурвіца) називають кватерніон, компоненти якого або всі цілі, або всі напівцілі (половини непарних чисел; суміш цілих і напівцілих неприпустима). Множина всіх кватерніонів Гурвіца

$H=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \;{\mbox{ или }}\,a,b,c,d\in \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right\}.$

Можна показати, що $H$ замкнута відносно множення та додавання, що робить її підкільцем кільця всіх кватерніонів.

Кватерніон Ліпшиця (або ціле Ліпшиця) — це кватерніон, всі компоненти якого є цілими числами. Множина всіх кватерніонів Липшиця

$L=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \right\}$

формує підкільце в кільці кватерніонів Гурвіца H.

Як група H є вільною абелевою групою з твірними {½(1+i+j+k), i, j, k}. Вона, таким чином, утворює ґратку R⁴. Ця ґратка відома як ґратка F₄, оскільки вона є кореневою ґраткою напівпростої алгебри Лі F₄. Кватерніон Ліпшиця L утворює підґратку в H.

Група одиниць L утворює кватерніонну групу Q = {±1, ± i, ± j, ± k}. Група одиниць H не є абелевою і утворює групу 24-го порядку, відому як бінарна група тетраедра. Ця група включає 8 елементів Q і 16 кватерніонів {½(±1± i ± j ± k)}, де знаки беруться в будь-якій комбінації. Кватерніонна група є нормальною підгрупою бінарної групи тетраедра U(H). Елементи U(H), маючи норму 1, утворюють вершини 24-гранника, вписаного в 3-сферу.

Норма кватерніона Гурвіца, заданого формулою $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$, завжди є цілим числом. За теоремою Лагранжа будь-яке невід'ємне ціле число можна подати у вигляді суми чотирьох (або менше) квадратів цілих чисел. Отже, будь-яке невід'ємне ціле число є нормою якогось кватерніону Ліпшиця (чи Гурвіца). Ціле число Гурвіца є простим елементом у тому й лише тому випадку, коли його норма — просте число.

Див. також

• Гауссові числа
• Ціле число Ейзенштейна
• Група Лі F₄
• Ґратка E₈

Посилання

• Конвей Д. Х., Смит Д. А. Гурвицевы целые кватернионы // О кватернионах и октавах: об их геометрии, арифметике и симметриях — Москва: МЦНМО, 2009. — С. 71–80. — 184 с. — ISBN 978-5-94057-517-7
  d:Track:Q97008792d:Track:Q649d:Track:Q4304329d:Track:Q97009234d:Track:Q268961