Екстремум

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Абсолютний мінімум)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Екстремум — найбільше або найменше значення функції на заданій множині.

Extrema example original.svg

Розрізняють:

  • локальний — екстремум в деякому довільно малому околі даної точки
  • глобальний — екстремум в усій розглядуваній області значень функцій

Задачі знаходження екстремуму виникають у всіх галузях людського знання: теорії автоматичного керування, економіці, біології, фізиці тощо.[1]

Визначення[ред. | ред. код]

Нехай дано функцію і  — внутрішня точка області визначення Тоді

  • називається точкою локального максимуму функції якщо існує проколотий окіл такий, що
  • називається точкою локального мінімуму функції якщо існує проколотий окіл такий, що
  • називається точкою глобального (абсолютного) максимуму, якщо
  • називається точкою глобального (абсолютного) мінімуму, якщо

Якщо нерівності вище строгі, то називається точкою строгого локального або глобального максимуму або мінімуму відповідно.

Значення функції називають відповідно (строгим) локальним або глобальним максимумом або мінімумом. Точки, які є точками (локального) максимуму або мінімуму, називають точками (локального) екстремуму.

Зауваження[ред. | ред. код]

Функція визначена на множині може не мати на ньому жодного локального або глобального екстремуму. Наприклад,

Необхідні умови існування локальних екстремумів[ред. | ред. код]

Нехай точка є точкою екстремуму функції , визначеної в деякому околі точки .
Тоді або похідна не існує, або .

Ці умови не є достатніми, так, функція може мати нуль похідної в точці, але ця точка може не бути точкою екстремуму, а бути, скажімо, точкою перегину, як точка (0,0) у функції .

Достатні умови існування локальних екстремумів[ред. | ред. код]

  • Нехай функція неперервна в і існують скінченні або нескінченні односторонні похідні . Тоді за умови

є точкою строгого локального максимуму. А якщо

то є точкою строгого локального мінімуму.

Зауважимо, що при цьому функція не обов'язково диференційовна в точці .

  • Нехай функція неперервна і двічі диференційовна в точці . Тоді за умови
і

є точкою локального максимуму. А якщо

і

то є точкою локального мінімуму.

  • Нехай функція диференційовна разів у точці і , а .

Якщо парне і , то  — точка локального максимуму. Якщо  — парне і , то  — точка локального мінімуму. Якщо  — непарне, то екстремуму немає.

Теорема Ферма[ред. | ред. код]

Докладніше: Теорема Ферма

Нехай  — точка екстремуму функції . Якщо  — внутрішня точка для і  — диференційовна в точці , то .

Теорема Ролля[ред. | ред. код]

Докладніше: Теорема Ролля

Якщо неперервна на , диференційовна на і , то

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Пшеничный, 1969, с. 7.
  2. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — 2-е изд. — М. : Высшая школа, 1973. — Т. 1.

Джерела[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]