Одиничне коло

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Одиничне коло — це коло з радіусом 1 та центром в початку координат. Поняття одиничного кола можна легко узагальнити до n-вимірного простору (). У такому випадку використовується термін «Одинична сфера».

Для координат всіх точок на колі, за теоремою Піфагора, виконується рівність

Не плутайте терміни «коло» і «круг»!

Одиничне коло є основою в принципі роботи координатного транспортиру.

Тригонометричні функції[ред. | ред. код]

Визначення тригонометричних функцій на одиничному колі.

Синус та косинус можуть бути описані наступним чином: об'єднавши будь-яку точку на одиничному колі з початком координат , ми отримаємо відрізок, що знаходиться під кутом відносно додатного напрямку осі абсцис. Тоді:

Косинусом кута називається відношення абсциси точки кола до його радіуса:

Синусом кута називається відношення ординати точки кола до його радіуса:

Тангенсом кута називається відношення ординати точки кола до її абсциси:

Котангенсом кута називається відношення абсциси точки кола до її ординати:

,

де це радіус одиничного кола.

Підставивши ці значення в раніше наведене рівняння , ми отримуємо:

Зверніть увагу на загальновживане написання .

Також тут наочно описується періодичність тригонометричниих функцій, так як кут відрізка не залежить від кількості «повних обертів»:

для всіх цілих чисел , тобто для

Нехай точка - правий кінець горизонтального діаметра. Кожному дійсному числу можна поставити у відповідність точку кола одиничного кола за такими правилами:

  1. Якщо , то, рухаючись по колу із точки в напрямі проти годинникової стрілки (додатній напрям обходу кола), описати по колу слід довжину , кінцева точка цього шляху і буде шуканою точкою .
  2. Якщо , то, рухаючись по колу із точки в напрямі за годинниковою стрілкою, описати по колу слід довжину , кінцева точка цього шляху і буде шуканою точкою .
  3. Якщо , то, то у відповідність ставиться точка .
  4. Якщо , де - ціле число, то при повороті на кут одержають одну й ту ж точку, що й при повороті на кут .
  5. Якщо точка відповідає числу , то вона і відповідає всім числам , де - довжина кола (бо радіус дорівнює 1), а - ціле число, що показує кількість повних обертів по колу в ту чи іншу сторону.

Комплексна площина[ред. | ред. код]

В комплексній площині одиничне коло — це множина :

Множина є підгрупою групи комплексних чисел по множенню, її нейтральним елементом є ).

Посилання[ред. | ред. код]