Автономне диференціальне рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Автономне диференціальне рівняння (англ. autonomous differential equation) — система звичайних диференціальних рівнянь, яка не залежить явно від незалежної змінної. Коли ця змінна є часом, таке рівняння також відоме як часоінваріантна система.

Багато законів фізики, де зазвичай незалежна змінна є час, виражені як автономні системи, бо припускають, що закони природи, які діють нині тотожні тим, що діяли в минулому чи діятимуть у майбутньому.

Автономні системи близько стосуються динамічних систем. Будь-яку автономну систему можна перетворити в динамічну і, використовуючи дуже слабкі припущення, динамічну систему можна перетворити в автономну.

Визначення[ред. | ред. код]

Автономна система — система звичайних диференціальних рівнянь у вигляді

де x приймає значення в n-вимірному Евклідовому просторі і t зазвичай є часом.

Така система відрізняється від системи типу

в яких закон, що керує швидкістю руху частинок залежить не тільки від положення частинок, але й від часу; такі системи не є автономними.

Важливою властивістю автономних систем є те, що векторне поле не змінюється з часом, тобто, якщо ми стартуємо в тій самій точці секундою пізніше, ми слідуємо тій самій траєкторії як і раніше лиш із затримкою на одну секунду.

Методи розв'язання[ред. | ред. код]

Для розв'язання одновимірних автономних диференціальних рівнянь застосовуються такі підходи. Будь-яке одновимірне рівняння порядку тотожне до -вимірної системи рівнянь першого порядку, але не обов'язково навпаки.

Перший порядок[ред. | ред. код]

В автономному рівнянні першого порядку

змінні можна розділити, отже його можна швидко розв'язати через переведення в інтегральну форму

Другий порядок[ред. | ред. код]

Автономне рівняння другого порядку

складніше, але його можна розв'язати[1] через введення нової змінної

і вираження другої похідної (через ланцюгове правило) як

отже початкове рівняння переходить у

яка є рівнянням першого порядку, яка не містить незалежної змінної і, якщо розв'язати ми отримуємо як функцію від . Тоді, використавши визначення :

що є неявним розв'язком.

Література[ред. | ред. код]

  1. Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; Парасюк I.О. (2003 р.). Диференціальні рівняння. Київ: Либідь. ISBN 966-06-0249-9. 

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Boyce, William E.; Richard C. DiPrima (2005). Elementary Differential Equations and Boundary Volume Problems (вид. 8th ed.). John Wiley & Sons. с. 133. ISBN 0-471-43338-1.