Автономне диференціальне рівняння

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

Автономне диференціальне рівняння (англ. autonomous differential equation) — система звичайних диференціальних рівнянь, яка не залежить явно від незалежної змінної. Коли ця змінна є часом, таке рівняння також відоме як часоінваріантна система.

Багато законів фізики, де зазвичай незалежна змінна є час, виражені як автономні системи, бо припускають, що закони природи, які діють нині тотожні тим, що діяли в минулому чи діятимуть у майбутньому.

Автономні системи близько стосуються динамічних систем. Будь-яку автономну систему можна перетворити в динамічну і, використовуючи дуже слабкі припущення, динамічну систему можна перетворити в автономну.

Визначення

Автономна система — система звичайних диференціальних рівнянь у вигляді

${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))$

де x приймає значення в n-вимірному Евклідовому просторі і t зазвичай є часом.

Така система відрізняється від системи типу

${\frac {d}{dt}}x(t)=g(x(t),t)$

в яких закон, що керує швидкістю руху частинок залежить не тільки від положення частинок, але й від часу; такі системи не є автономними.

Важливою властивістю автономних систем є те, що векторне поле не змінюється з часом, тобто, якщо ми стартуємо в тій самій точці секундою пізніше, ми слідуємо тій самій траєкторії як і раніше лиш із затримкою на одну секунду.

Методи розв'язання

Для розв'язання одновимірних автономних диференціальних рівнянь застосовуються такі підходи. Будь-яке одновимірне рівняння порядку $n$ тотожне до $n$-вимірної системи рівнянь першого порядку, але не обов'язково навпаки.

Перший порядок

В автономному рівнянні першого порядку

${\frac {dx}{dt}}=f(x)$

змінні можна розділити, отже його можна швидко розв'язати через переведення в інтегральну форму

$t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}$

Другий порядок

Автономне рівняння другого порядку

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x,x')$

складніше, але його можна розв'язати через введення нової змінної

$v={\frac {dx}{dt}}$

і вираження другої похідної $x$ (через ланцюгове правило) як

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {dv}{dx}}$

отже початкове рівняння переходить у

$v{\frac {dv}{dx}}=f(x,v)$

яка є рівнянням першого порядку, яка не містить незалежної змінної $t$ і, якщо розв'язати ми отримуємо $v$ як функцію від $x$. Тоді, використавши визначення $v$:

${\frac {dx}{dt}}=v(x)\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{v(x)}}$

що є неявним розв'язком.

Література

1. Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; Парасюк I.О. (2003 р.). Диференціальні рівняння (PDF). Київ: Либідь. ISBN 966-06-0249-9. Архів оригіналу (PDF) за 17 червня 2014. Процитовано 2 грудня 2015.