Групоїд (теорія категорій)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У теорії категорій групо́їд — це категорія, у якій усі морфізми є ізоморфізмами.

Групоїди можна розглядати як узагальнення груп. А саме, категорія, відповідна групі , має рівно один об'єкт і по одній стрілці для кожного елементу з . Композиція стрілок задається як множення відповідних елементів у групі. Видно, що при цьому кожна стрілка є ізоморфізмом. Таким чином множину стрілок групоїда можна розглядати як деяку множину з частково визначеною бінарною операцією множення таку, що для кожного елементу існує лівий і правий зворотній, а також ліва і права одиниця за множенням.

Групоїди природньо заміняють у теорії категорій групи симетрій і виникають при класифікації класів ізоморфних об'єктів.

Приклади[ред.ред. код]

  • Будь-яка категорія, що є групою, є групоїдом.
  • Нехай  — довільна категорія, а  — підкатегорія, об'єкти якої совпадают с об'єктами , а морфізмами є усі можливі ізоморфізми у . Тоді  — групоїд.
  • Нехай  — лінійно зв'язний топологічний простір. Тоді його фундаментальний Групоїд  — це 2-категорія, об'єктами якої є усі точки з , а стрілки з у відповідають усім можливим (геометричним) шляхам з у :
Дві функції та задають один і той же шлях якщо існує так, що або . Композиція стрілок задається композицією шляхів:
2-морфізм з у  — це гомотопія з у . Фундаментальний групоїд є категоріфікацією фундаментальної групи. Його перевага у тому, що у просторі не потрібно обирати відмічену точку, так що не виникають проблеми з неканонічністю ізоморфізму фундаментальних груп у різних точках або з просторами, які мають декілька компонент зв'язності. Фундаментальна група петель з точки виникає як група 2-ізоморфних автоморфізмів об'єкта .
  • Категорія векторних розшарувань рангу над стягуваним простором з невиродженими відображеннями природньо утворює групоїд. Це твердження лежить в основі введення поняття джерба[en] (котрий є частковим випадком стека[en]), що являє собою собою структуру на категорії пучків заданого типу. Джерби є геометричними об'єктами, що класифікуються групами когомологій , де  — пучок Груп на . Поняття особливо важливе у випадку неабелевих груп .

Див. також[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.