Векторне розшарування

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Векторним розшаруванням називається певна геометрична конструкція, котра складається з сімейства векторних просторів, параметризованих іншим простором (наприклад, може бути топологічним простором, многовидом або алгебраїчною структурою): кожній точці простору зіставляється векторний простір так, що їхнє об'єднання утворює простір такого ж типу, як і (топологічний простір, многовид або алгебраїчну структуру тощо), зване простором векторного розшарування над .

Векторне розшарування є особливим типом локально тривіальних розшарувань, які в свою чергу є особливим типом розшарувань.

Зазвичай розглядають векторні простори над дійсними або комплексними числами. У такому випадку векторні розшарування називаються відповідно дійсними або комплексними. Комплексні векторні розшарування можна розглядати як дійсні з додатково введеною структурою.

Приклади[ред. | ред. код]

Визначення[ред. | ред. код]

Векторне розшарування — це локально тривіальне розшарування, у якого шар є векторним простором, зі структурною групою оборотних лінійних перетворень .

Пов'язані визначення[ред. | ред. код]

Підрозшаруванням векторного розшарування на топологічному просторі називається така сукупність лінійних підпросторів , , яка сама має структуру векторного розшарування.

Морфізми[ред. | ред. код]

Морфізм з векторного розшарування у векторне розшарування задається парою безперервних відображень та , таких що

BundleMorphism-01.png
  • для будь-якого , відображення , індуковане , — лінійне відображення векторних просторів.

Зауважимо, що визначається (бо  — сюр'єкція), у такому випадку говорять, що покриває .

Клас всіх векторних розшарувань разом з морфізмами розшарувань утворює категорію. Обмежуючись векторними розшаруваннями, які є гладкими многовидами, і гладкими морфізмами розшарувань, ми отримаємо категорію гладких векторних розшарувань. Морфізми векторних розшарувань — окремий випадок відображення розшарувань між локально тривіальними розшаруваннями, їх часто називають гомоморфізмом (векторних) розшарувань.

Гомоморфізм розшарувань з у , разом із зворотним гомоморфізмом, називається ізоморфізмом (векторних) розшарувань. У такому разі розшарування і називають ізоморфними. Ізоморфізм векторного розшарування (рангу ) над на тривіальне розшарування (рангу над ) називається тривіалізацією , при цьому називають тривіальним (або трівіалізуємим). З визначення векторного розшарування видно, що будь-яке векторне розшарування локально тривіально.

Операції над розшаруваннями[ред. | ред. код]

Більшість операцій над векторними просторами можуть бути продовжені на векторні розшарування, виконуючись поточечно.

Наприклад, якщо  — векторне розшарування на , то існує розшарування на , зване спряженим розшаруванням, шар якого в точці  — це спряжений векторний простір . Формально можна визначити як множину пар , де і . Спряжене розшарування локально тривіально.

Існує багато функторіальних операцій, виконуваних над парами векторних просторів (над одним полем). Вони безпосередньо продовжуються на пари векторних розшарувань на (над заданим полем). Ось кілька прикладів.

  • Сума Вітні, або розшарування прямої суми і — це векторне розшарування на , шар якого в точці є прямою сумою векторних просторів і .
  • Розшарування тензорного добутку визначається аналогічно, використовуючи поточечний тензорний добуток векторних просторів.
  • Розшарування гомоморфізмів (англ. hom-bundle)  — це векторне розшарування, шар якого в точці  — простір лінійних відображень з в (часто позначається або ). Це розшарування корисно, тому що існує бієкція між гомоморфізми векторних розшарувань з в на і частинами на .

Посилання[ред. | ред. код]

  • Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. — М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 208 с.
  • Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis — (2002) Springer-Verlag, Berlinб ISBN 3-540-42627-2 — See section 1.5.
  • Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden. Foundations of Mechanics, — (1978) Benjamin-Cummings, Londonб ISBN 0-8053-0102-X — See section 1.5.