Гіперцикл (геометрія)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Диск Пуанкаре з гіперциклом HC для прямої L (вона пряма, оскільки перетинає горизонт під прямими кутами), який проходить через точку P

Гіперколо, гіперцикл або еквідистанта[1] — це крива, точки якої мають сталу ортогональну відстань до прямої (яка називається віссю гіперкола).

Якщо дано пряму L і точку P, яка не лежить на L, можна побудувати гіперцикл, узявши всі точки Q, що лежать з того ж боку від L, що й P, і на такій самій відстані від L, що й P.

Пряма L називається віссю, центром або базовою прямою гіперциклу.

Прямі, перпендикулярні до осі, які перпендикулярні і до гіперциклу, називаються нормалями гіперциклу.

Відрізки нормалі між віссю і гіперциклом називаються радіусами.

Загальна довжина цих відрізків називається відстанню або радіусом гіперциклу[2].

Гіперцикли через задану точку, що мають одну і ту ж дотичну в цій точці, сходяться до орициклу в міру прямування відстані до нескінченності.

Властивості, подібні до властивостей евклідових прямих

[ред. | ред. код]

Гіперцикли у гіперболічній геометрії мають деякі властивості, схожі на властивості прямих в евклідовій геометрії:

  • На площині, якщо задано пряму і точку поза нею, існує тільки один гіперцикл для даної прямої, що містить цю точку (порівняйте з аксіомою Плейфера для евклідової геометрії).
  • Ніякі три точки гіперциклу не лежать на одній прямій.
  • Гіперцикл симетричний відносно будь-якої прямої, перпендикулярної до нього (відбиття гіперциклу відносно прямої, перпендикулярної до гіперциклу, дає той же самий гіперцикл).

Властивості, подібні до властивостей евклідових кіл

[ред. | ред. код]

Гіперцикли у гіперболічній геометрії мають деякі властивості, подібні до властивостей кола в евклідовій геометрії:

  • Пряма, перпендикулярна до хорди гіперциклу в її середині, є радіусом і ділить стягувану дугу навпіл.
    Нехай AB — хорда і M — її середина.
    З огляду на симетрію, пряма R через M, перпендикулярна до хорди AB, має бути ортогональною до осі L.
    Таким чином, R є радіусом.
    Також з міркувань симетрії, R ділить дугу AB навпіл.
  • Вісь і відстань гіперциклу визначені однозначно.
    Припустимо, що гіперцикл C має дві різні осі і .
    Скориставшись попередньою властивістю двічі з різними хордами, можна визначити два різних радіуси і . і будуть тоді перпендикулярні як до , так і до , що дає прямокутник. Отримали суперечність, оскільки у гіперболічній геометрії прямокутник неможливий.
  • Гіперцикли мають однакові відстані тоді й лише тоді, коли вони конгруентні.
    Якщо вони мають однакові відстані, потрібно звести осі до збігу жорстким рухом[en][3], а тоді всі радіуси збіжаться. Оскільки радіус той самий, точки двох гіперциклів сумістяться.
    Навпаки, якщо вони конгруентні, відстань має бути тако ж, згідно з попередньою властивістю.
  • Прямі перетинають гіперцикл не більше ніж у двох точках.
    Нехай пряма K перетинає гіперцикл C у двох точках A і B. Як і раніше, ми можемо побудувати радіус R гіперциклу C через середню точку M хорди AB. Зауважимо, що пряма K ультрапаралельна до осі L, оскільки вони мають спільний перпендикуляр R. Також, дві ультрапаралельні прямі мають найменшу відстань на загальному перпендикулярі і відстань монотонно зростає в міру відхиляння від перпендикуляра.
    Це означає, що точки K всередині AB міститимуться на відстані від L меншій, ніж відстань від A і B до L, тоді як точки K поза відрізком AB будуть мати більшу відстань. У підсумку, жодних інших точок K немає на C.
  • Два гіперцикли перетинаються максимум у двох точках.
    Нехай і  — гіперцикли, що перетинаються в точках A, B і C.
    Якщо  — пряма, ортогональна AB і проходить через середню точку, ми знаємо, що це радіус як для , так і для .
    Аналогічно будуємо радіус через середню точку відрізка BC.
    і одночасно ортогональні до осей і гіперциклів і відповідно.
    Ми вже довели, що в цьому випадку і мають збігатися (інакше отримаємо прямокутник).
    Тоді і мають ті самі осі і принаймні одну спільну точку, а тому вони мають ту саму відстань і теж збігаються.
  • Ніякі три точки гіперциклу не лежать на одній прямій.
    Якщо точки A, B і C гіперциклу лежать на одній прямій, то хорди AB і BC належать одній і тій самій прямій K. Нехай і є радіусами, що проходять через середні точки хорд AB і BC. Ми знаємо, що вісь L гіперциклу перпендикулярна як до , так і до .
    Але K також перпендикулярна до них. Тоді відстань має дорівнювати 0, і гіперцикл вироджується в пряму.

Інші властивості

[ред. | ред. код]
Тричотирикутна мозаїка[en] на конформно-евклідовій моделі має послідовність вершин, що лежать на гіперциклах.
  • Довжина дуги гіперциклу між двома точками
    • більша від довжини відрізка між цими двома точками,
    • менша від довжини дуги одного з двох орициклів між цими двома точками
    • менша від довжини будь-якої дуги кола між цими двома точками.
  • Гіперцикл і орицикл перетинаються максимум у двох точках.

Довжина дуги

[ред. | ред. код]

На гіперболічній площині з постійною кривиною довжину дуги гіперциклу можна обчислити за радіусом і відстанню між точками, в яких нормалі перетинають вісь, за допомогою формули:

[4]

Побудова

[ред. | ред. код]

Для гіперболічної площини в моделі Пуанкаре у диску гіперцикли відповідають прямим і дугами кола, які перетинають граничне коло під будь-яким кутом відмінним від прямого. Відповідно, вісь гіперциклу, оскільки — це геодезичні, які в моделі представлені відрізками та дугами перпендикулярними граничному колу, буде перетинати граничне коло в тих самих точках, що і гіперцикл, але під прямим кутом.

Відповідно в іншій конформній моделі — моделі Пуанкаре у верхній півплощині гіперцикли представляються прямими та дугами кола, що перетинають граничну пряму під будь-яким кутом відмінним від прямого. Вісь гіперциклу — це геодезична, що перетинає граничну пряму в тих самих точках, але під прямим кутом.

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. У книзі Смогоржевського використовується термін еквідистанта, хоча, загалом, еквідистанта — це ширше поняття. Тут слід говорити про еквідістанту прямої на гіперболічній площині.
  2. Martin, 1986.
  3. Тобто переміщенням фігури як твердого тіла.
  4. Смогоржевский, 1982, с. 66.

Література

[ред. | ред. код]
  • Martin Gardner. Chapter 4 of The Colossal Book of Mathematics // Non-Euclidean Geometry. — W. W. Norton & Company, 2001. — ISBN 978-0-393-02023-6.
  • Greenberg M. J. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. — 3rd edition. — Freeman W. H, 1994.
  • David C. Royster. Neutral and Non-Euclidean Geometries.
  • Смогоржевский А. С. О геометрии Лобачевского. — Москва : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1982. — Т. 23. — (Популярные лекции по математике)
  • George E. Martin. The foundations of geometry and the non-euclidean plane. — 1., corr. Springer. — New York : Springer-Verlag, 1986. — С. 371. — ISBN 3-540-90694-0.