Комбінаторна геометрія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Дискретна геометрія)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Комбінаторна або дискретна геометрія — розділ геометрії, в якому вивчаються комбінаторні властивості геометричних об'єктів та пов'язані з ними конструкції. У комбінаторній геометрії розглядають скінченні і нескінченні дискретні множини або структури базових однотипних геометричних об'єктів (точок, прямих, кіл, многокутників, тіл з однаковим діаметром, цілочисельних ґраток тощо) і ставлять питання, пов'язані з властивостями різних геометричних конструкцій з цих об'єктів або на цих структурах. Проблеми комбінаторної геометрії простягаються від конкретних «предметно»-комбінаторних питань (хоча і не завжди з простими відповідями) — замощення, пакування кіл на площині, формула Піка — до питань загальних і глибоких — гіпотеза Борсука[ru], проблема Нельсона — Ердеша — Гадвігера.

Історія[ред. | ред. код]

Хоча многогранники, замощення і пакування куль[ru] досліджувалися ще Кеплером і Коші, сучасна комбінаторна геометрія почала формуватися в кінці 19-го століття. Одними з перших завдань були: щільність пакування кіл Акселя Туе[ru], проективна конфігурація Штайніца[ru], геометрія чисел Мінковського і проблема чотирьох фарб Френсіса Гутрі[en]).

Приклади задач[ред. | ред. код]

Уявлення про діапазон задач комбінаторної геометрії дають такі приклади.

  • Лема Віталі про покриття — комбінаторногеометричний результат. Широко використовується в теорії міри.
Ромботришестикутне пакування куль, одне з 11 можливих симетричних пакувань
Вісім точок в загальному положенні, для яких немає опуклого п'ятикутника
  • Теорема Мінковського про опукле тіло. Нехай  — замкнуте опукле тіло, симетричне відносно початку координат -вимірного евклідового простору, що має об'єм . Тоді в знайдеться цілочисельна точка, відмінна від . Ця теорема поклала початок геометрії чисел.
  • Гіпотеза Борсука стверджує, що будь-яке тіло діаметра в -вимірному евклідовому просторі можна розбити на частину так, що діаметр кожної частини буде меншим, ніж . Цю гіпотезу було доведено для розмірностей і , але спростовано для просторів більшої розмірності. За відомою сьогодні оцінкою вона не правильна для просторів розмірності 64 і більше[2].
  • Задача Данцера — Ґрюнбаума[ru] полягає в пошуку скінченної множини з якомога більшої кількості точок у багатовимірному просторі, між якими можна побудувати тільки гострі кути.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Chang, Hai-Chau; Wang, Lih-Chung (2010). «A Simple Proof of Thue's Theorem on Circle Packing». arXiv:1009.4322v1 [math.MG]. 
  2. Thomas Jenrich, A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture

Посилання[ред. | ред. код]

  • Bezdek, András; Kuperberg, W. (2003). Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday. New York, N.Y: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-0968-3. 
  • Bezdek, Károly (2010). Classical Topics in Discrete Geometry. New York, N.Y: Springer. ISBN 978-1-4419-0599-4. 
  • Brass, Peter; Moser, William; Pach, János (2005). Research problems in discrete geometry. Berlin: Springer. ISBN 0-387-23815-8. 
  • Pach, János; Agarwal, Pankaj K. (1995). Combinatorial geometry. New York: Wiley-Interscience. ISBN 0-471-58890-3. 
  • Goodman, Jacob E. and O'Rourke, Joseph (2004). Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-301-4. 
  • Gruber, Peter M. (2007). Convex and Discrete Geometry. Berlin: Springer. ISBN 3-540-71132-5. 
  • Matoušek, Jiří (2002). Lectures on discrete geometry. Berlin: Springer. ISBN 0-387-95374-4. 
  • Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan, (1997). Excursions into Combinatorial Geometry. Springer. ISBN 3-540-61341-2.