Довжина модуля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В абстрактній алгебрі довжина модуля — числова характеристика модуля, що деякою мірою узагальнює поняття розмірності векторного простору.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай — модуль над кільцем . Довжина визначається як супремум чисел для яких існує послідовність підмодулів:

Довжина позначається або .

Властивості[ред.ред. код]

  • Довжина нульового модуля рівна 0. Довжина інших модулів є додатнім цілим числом.
  • Єдиними модулями довжина яких рівна 1 є прості модулі. В іншому випадку існує послідовність і довжина модуля не менша 2.
  • Модуль має скінченну довжину якщо і тільки якщо він є модулем Нетер і модулем Артіна.
  • Нехай маємо коротку точну послідовність:
тоді .
  • З попереднього випливає, що якщо N — підмодуль M то
.
Також звідси випливає формула:


Приклади[ред.ред. код]

  • Для скінченновимірних векторних просторів поняття розмірності і довжини є еквівалентними: .
  • Кільце , що розглядається як модуль над самим собою, має нескінченну довжину, що демонструє наступна послідовність визначена для довільного натурального числа n :

Література[ред.ред. код]

  • Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры.-Ижевск, 1999, 348с.