Лема Шура
Лема Шура — твердження, що є одним з основних при побудові теорії представлень груп.
Представлення групи автоморфізмами деякого векторного простору називається незвідним, якщо не існує ніякого інваріантного щодо підпростору за винятком нульового підпростору і самого .
Лема Шура: Нехай — лінійне відображення векторних просторів над деяким полем таке, що існують два незвідні представлення і , такі, що для всіх . тоді:
- Відображення є або ізоморфізмом або нульовим відображенням.
- Якщо є скінченновимірними над алгебраїчно замкнутим полем і , то є множенням на певний елемент поля .
Також лемою Шура називають твердження з теорії модулів, пов'язане з попереднім: Нехай і модулі над кільцем , які є простими (тобто не мають підмодулів, відмінних від нульового і самого себе). Тоді будь-який гомоморфізм є або нульовим, або ізоморфізмом на . Зокрема якщо то довільний ненульовий ендоморфізм модуля є автоморфізмом і тому має обернений автоморфізм. Іншими словами кільце (кільце -лінійних ендоморфізмів модуля ) є тілом.
Доведемо спершу твердження для модулів, а потім на його основі і лему Шура для представлень груп.
Справді, так як і є підмодулями, то якщо є ненульовим гомоморфізмом, маємо , а , тобто — ізоморфізм на весь модуль .
Тепер визначимо групове кільце . Елементами цього кільця будуть лінійні комбінації . Множення визначається і далі по лінійності. Ясно, що кільце. На просторі визначимо множення елемента з на елемент : . Тим самим ми перетворюємо в модуль над кільцем . Перевірка аксіом модуля тривіальна, тому що є представленням. аналогічно, замінюючи на , буде модулем над , а рівність те, що відображення є гомоморфізмом модулів. Так як і є незвідними, а це означає простоту і як модулів над , то перша частина леми доведена.
Для доведення другої частини використовуємо відоме твердження лінійної алгебри про існування власного вектора для скінченновимірного простору над алгебраїчно замкнутим полем, що відповідає власному значенню , . Для будь-якого елемента маємо , причому для власного вектора отже по першій частині леми є нульовим гомоморфізмом, отже є множенням на деякий .
- Пилипів В. М. Теорія представлень груп та її застосування(навчальний посібник). -Івано-Франківськ: ВДВ ЦІТ Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника, 2008.-156с.
- Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6, ISBN 978-0-387-97495-8 .
- James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X.
- Serre, Jean-Pierre (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6.