Перейти до вмісту

Лема Шура

Очікує на перевірку
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Лема Шура — твердження, що є одним з основних при побудові теорії представлень груп.

Формулювання леми

[ред. | ред. код]

Представлення групи автоморфізмами деякого векторного простору називається незвідним, якщо не існує ніякого інваріантного щодо підпростору за винятком нульового підпростору і самого .

Лема Шура: Нехай  — лінійне відображення векторних просторів над деяким полем таке, що існують два незвідні представлення і , такі, що для всіх . тоді:

  1. Відображення є або ізоморфізмом або нульовим відображенням.
  2. Якщо є скінченновимірними над алгебраїчно замкнутим полем і , то є множенням на певний елемент поля .

Також лемою Шура називають твердження з теорії модулів, пов'язане з попереднім: Нехай і модулі над кільцем , які є простими (тобто не мають підмодулів, відмінних від нульового і самого себе). Тоді будь-який гомоморфізм є або нульовим, або ізоморфізмом на . Зокрема якщо то довільний ненульовий ендоморфізм модуля є автоморфізмом і тому має обернений автоморфізм. Іншими словами кільце (кільце -лінійних ендоморфізмів модуля ) є тілом.

Доведення

[ред. | ред. код]

Доведемо спершу твердження для модулів, а потім на його основі і лему Шура для представлень груп.

Справді, так як і є підмодулями, то якщо є ненульовим гомоморфізмом, маємо , а , тобто  — ізоморфізм на весь модуль .

Тепер визначимо групове кільце . Елементами цього кільця будуть лінійні комбінації . Множення визначається і далі по лінійності. Ясно, що кільце. На просторі визначимо множення елемента з на елемент : . Тим самим ми перетворюємо в модуль над кільцем . Перевірка аксіом модуля тривіальна, тому що є представленням. аналогічно, замінюючи на , буде модулем над , а рівність те, що відображення є гомоморфізмом модулів. Так як і є незвідними, а це означає простоту і як модулів над , то перша частина леми доведена.

Для доведення другої частини використовуємо відоме твердження лінійної алгебри про існування власного вектора для скінченновимірного простору над алгебраїчно замкнутим полем, що відповідає власному значенню , . Для будь-якого елемента маємо , причому для власного вектора отже по першій частині леми є нульовим гомоморфізмом, отже є множенням на деякий .

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]