Гармонічний осцилятор

Гармонічний осцилятор

Гармонічний осцилятор у Вікісховищі

Гармоні́чний осциля́тор — система (у класичній механіці), яка у разі зміщення зі стану рівноваги під дією певної сили (чи суперпозиції сил), повертається до попереднього стану під дією зворотної сили, пропорційної зміщенню (наприклад, за законом Гука у випадку з механічними коливаннями):

$F=-kx\,$

де $k$ — додатна константа, що описує жорсткість системи.

Якщо $~F$ — єдина сила, що діє на систему, то систему називають простим або консервативним гармонійним осцилятором. Вільними коливаннями такої системи, є періодичний рух навколо стану рівноваги (гармонійні коливання). Частота і амплітуда при цьому постійні, причому частота не залежить від амплітуди.

Якщо є ще й сила тертя (відбувається згасання коливань), пропорційна швидкості руху (в'язке тертя), то таку систему називають згасаючим або дисипативним осцилятором. Коли тертя не дуже велике, то система робить майже періодичний рух — синусоїдальні коливання з постійною частотою і експоненціально спадною амплітудою. Частота вільних коливань згасаючого осцилятора виявляється дещо нижче, ніж у подібного осцилятора без тертя.

Якщо осцилятор існує сам собою, то кажуть, що він робить вільні коливання. Якщо ж є зовнішня сила (що залежить від часу), то говорять, що осцилятор виконує вимушені коливання.

Також, можна дати еквівалентне означення гармонічному осцилятору — це фізичний об'єкт, еволюція якого з часом описується диференціальним рівнянням

${\ddot {q}}(t)+\omega ^{2}q(t)=0$,

де $q$ — узагальнена координата гармонічного осцилятора, $t$ — час, $\omega$ — характерна частота гармонічного осцилятора. Дві крапки над змінною означають другу похідну за часом. Величина $q$ здійснює гармонічні коливання.

Задача про гармонічний осцилятор має центральне значення як у класичній, так і у квантовій фізиці.

Велика кількість фізичних систем поводять себе як гармонічні осцилятори у разі незначного відхилення від рівноваги. До них належать математичний маятник (з малими кутами відхилення), фізичний та торсіонний маятники, вантаж на пружині, коливання атомів у молекулах і твердих тілах. Серед прикладів, варто вирізняти електричні коливальні контури, оскільки з ними ми стикаємося у сучасному житті повсякчас — це майже всі електротехнічні прилади, з якими ми знайомі ледь не від народження (наприклад ліфти, електронні системи в автомобілях, комп'ютери, акустичні системи, кавоварки).

Гармонічний осцилятор у класичній фізиці

Малі коливання маятника є гармонічними

Енергія, функція Лагранжа та Гамільтона

Кінетична енергія гармонічного осцилятора задається виразом

$K={\frac {m}{2}}{\dot {q}}^{2}$.

Потенціальна енергія гармонічного осцилятора задається виразом

$U={\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}$.

Відповідно, вважаючи величину $q$ узагальненою координатою, функція Лагранжа гармонічного осцилятора записується

${\mathcal {L}}={\frac {m{\dot {q}}^{2}}{2}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}$.

Узагальнений імпульс

$p={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}}}={\dot {q}}.$

Функція Гамільтона

${\mathcal {H}}={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}$.

Вимушені коливання

Під дією зовнішньої періодичної сили із частотою, яка не обов'язково збігається із власною частотою гармонічного осцилятора, осцилятор здійснює гармонічні коливання, аплітуда яких визначається величиною зовнішньої сили і співвідношенням зовнішньої частоти й власної частоти осцилятора.

Вимушені коливання гармонічного осцилятора із частотою $\omega _{0}$ під дією сили з частотою $\omega$описуються рівнянням

${\ddot {q}}+\omega _{0}^{2}q=f_{0}\cos(\omega t-\varphi )$,

де $f_{0}$ — амплітуда зовнішньої сили.

Частинний розв'язок цього рівняння, який описує вимушені коливання має вигляд

$q={\frac {f_{0}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\cos(\omega t-\varphi )$.

Гармонічний осцитор під дією зовнішньої сили здійснює гармонічні коливання з амплітудою $f_{0}/(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})$. При $\omega \rightarrow \omega _{0}$ амплітуда вимушених коливань прямує до нескінченості. Це явище називається резонансом.

Гармонічний осцилятор із згасанням коливань

При врахуванні сил тертя чи супротиву іншого роду, який призводить до дисипації енергії осцилятора й перетворенні її в тепло, рівняння гармонічного осцилятора змінюються. Зокрема дуже поширений випадок, коли сили супротиву пропорційні швидкості зміни величини $q$. Тоді рівняння гармонічного осцилятора набирає вигляду

${\ddot {q}}+\gamma {\dot {q}}+\omega ^{2}q=0$.

Такі коливання затухають із часом згідно із законом

$q=q_{0}e^{-\gamma t}\cos(\omega t-\varphi )$.

Вимушені коливання гармонічного осцилятора із згасанням

При дії періодичної зовнішньої сили навіть при затуханні для осцилятора встановлюються гармонічні коливання із амплітудою, яка залежить від прикладеної сили, співвідношення частот, а також від величини затухання.

Амплітуда вимушених коливань із врахуванням затухання визначається формулою

$q_{0}={\frac {f_{0}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\gamma ^{2}\omega ^{2}}}$.

Це скінченна величина при всіх частотах зовнішньої сили.

Формули для розрахунку частот гармонічних осциляторів

Математичний маятник при невеликому початковому відхиленні від вертикалі здійснює гармонічні коливання з частотою

$\omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}$,

де g — прискорення вільного падіння, l — дожина маятника.

Тіло масою m на пружині із жорсткістю k, є гармонічним осцилятором з частотою

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

Коливальний контур є гармонічним осцилятором, із частотою

$\omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$,

де L — індуктивність, C — ємність.

Гармонічний осцилятор у квантовій механіці

Детальніше див. Квантовий осцилятор.

Спектр власних значень і власні функції

Хвильові функції перших шести станів із квантовими числами від n = 0 до 5. На осі ординат відкладена узагальнена координата

Гамільтоніан гармонічного осцилятора отримується заміною у функції Гамільтона імпульсу $p$ на $-i\hbar {\frac {d}{dq}}$

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+{\frac {1}{2}}\omega ^{2}q^{2}$.

Спектр гармонічного осцилятора знаходиться із стаціонарного рівняння Шредінгера й задається формулою

$E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)$.

Тут $n$ — квантове число, яке пробігає значення від нуля до нескінченості. Енергетичні рівні гармонічного осцилятора еквідистантні. Характерною особливістю гармонічного осцилятора є те, що навіть у основному стані гармонічний осцилятор має відмінну від нуля енергію

$E_{0}={\frac {1}{2}}\hbar \omega$.

Ця найнижча енергія називається енергією нульових коливань.

Власні функції гармонічного осцилятора, які відповідають квантовому числу $n$ задаються формулами

$\psi _{n}=e^{-x^{2}/2}H_{n}(x)$,

де $x=q{\sqrt {\omega /\hbar }}$, а $H_{n}(x)$ — поліноми Ерміта.

При парному $n$ власні функції гармонічного осцилятора парні, при непраному — непарні. Гамільтоніан гармонічного осцилятора комутує із оператором заміни $x$ на $-x$ (оператором парності), а тому має спільні власні функції з цим оператором.

Оператори народження та знищення

Якщо визначити оператор народження

${\hat {a}}^{+}={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega }}}(\omega q-i{\hat {p}})$

та оператор знищення

${\hat {a}}={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega }}}(\omega q+i{\hat {p}})$,

то

${\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{+}{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)$.

Оператори народження та знищення задовільняють комутаційному співвідношенню:

${\hat {a}}{\hat {a}}^{+}-{\hat {a}}^{+}{\hat {a}}=1$.

Власні функції гармонічного осцилятора тоді мають вигляд

$\psi _{n}={\sqrt {n!}}({\hat {a}}^{+})^{n}\psi _{0}$,

або, використовуючи нотацію кет і бра-векторів:

$|n>={\sqrt {n!}}({\hat {a}}^{+})^{n}|0\rangle$.

Загалом дія оператора народження на гармонійний оператор у стані |n> призводить до переходу в стан |n+1>:

${\hat {a}}^{+}|n>={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle$.

Дія оператора знищення на стан |n> призводить до переходу в стан |n-1>:

${\hat {a}}|n>={\sqrt {n}}|n-1\rangle$

Оператор

${\hat {N}}={\hat {a}}^{+}{\hat {a}}$

називають оператором числа частинок, оскільки для нього справедливе співвідношення.

${\hat {N}}|n>=n|n\rangle$

Правила відбору

При випромінюванні чи поглинанні фотона дозволеними переходами для гармонічного осцилятора є такі, при яких квантове число n змінюється на одиницю. Враховуючи еквідистантність рівнів, це правило відбору призводить до того, що, незважаючи на нескінченне число рівнів, у спектрі оптичного поглинання чи випромінювання гармонічного осцилятора є лише одна лінія з частотою $\omega$.

У реальних коливних спектрах молекул можливі відхилення від цього правила, зумовлені ангармонічністю реального потенціалу міжатомної взаємодії, квадрупольними переходами і т. д.

Див. також

• Гармонічні коливання
• Нормальні коливання
• Осцилятор Лоренца

Джерела

• Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.

• Федорченко А.М. (1993). Теоретична фізика. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика. Т.2. Київ: Вища школа., 415 с.

• Юхновський І.Р. (2002). Основи квантової механіки. Київ: Либідь.