Клітинна гомологія

У математиці, а саме у алгебричній топології клітинною гомологією називається гомологічна теорія для категорії CW-комплексів. Вона узгоджується із сингулярною гомологією і часто дає ефективні методи для її обчислення.

Означення

Якщо $X$ є CW-комплексом і $X_{n}$ позначає його n-кістяк. Нехай ${C_{k}}(X_{n},X_{n-1})$ позначає групу ланцюгового комплексу для відносної гомології пари $(X_{n},X_{n-1}).$ Відповідна відносна гомологічна група ${H_{k}}(X_{n},X_{n-1})$ є тривіальною групою для $k\neq n$ і вільною абелевою групою, генераторами якої є $n$-клітини комплекса $X$ для $k=n$.

Між групами ${H_{n+1}}(X_{n+1},X_{n})$ і ${H_{n}}(X_{n},X_{n-1})$ можна задати граничне відображення $d_{n+1}:H_{n+1}(X_{n+1},X_{n})\to H_{n}(X_{n},X_{n-1})$ як $d_{n+1}=j_{n}\circ \partial _{n+1},$ де $j_{n}$ є відображенням із гомологічної групи $H_{n}(X_{n})$ на відносну гомологічну групу пари $H_{n}(X_{n},X_{n-1}),$ а $\partial _{n+1}:H_{n+1}(X_{n+1},X_{n})\to H_{n}(X_{n})$ є зв'язуючим гомоморфізмом у довгій точній послідовності пари $(X_{n+1},X_{n}).$

Більш конкретно якщо $x$ є елементом $H_{n}(X_{n})$ і $z\in Z_{n}(X_{n})$ — циклом, що представляє цей елемент, то $j_{n}(z)$ є класом гомології образу цього елемента у фактор-групі $C_{n}(X_{n})/C_{n}(X_{n-1})$ (цей образ теж буде циклом). Натомість, якщо $y$ є елементом $H_{n+1}(X_{n+1},X_{n})$ то згідно означень для $y$ існує представник $c\in C_{n+1}(X_{n+1}),$ для якого $\partial c=w,$ де $w\in C_{n}(X_{n}).$ Тоді $\partial w=0$ у $C_{n}(X_{n})$ оскільки граничне відображення цього елемента у $C_{n}(X_{n})$ і $C_{n}(X_{n+1})$ є однаковими і в $C_{n}(X_{n+1})$ елемент $w$ є граничним. Натомість у $C_{n}(X_{n})$ він може бути не граничним і для нього клас гомології може бути нетривіальним. $\partial _{n+1}(y)$ за означенням є класом гомології елемента $w$ у $H_{n}(X_{n})$.

Для граничних відображень $d_{n}\circ d_{n+1}=0$, оскільки згідно означення $d_{n}\circ d_{n+1}=j_{n-1}\circ \partial _{n}\circ j_{n}\circ \partial _{n+1}$ і $\partial _{n}\circ j_{n}=0$ адже у лівій частині є композиція двох послідовних відображень у довгій точній послідовності пари $(X_{n},X_{n-1}).$

Таким чином відносні гомологічні групи і граничні відображення $d_{n}$ утворюють ланцюговий комплекс:

$\cdots \to {H_{n+1}}(X_{n+1},X_{n})\to {H_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {H_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})\to \cdots ,$

Гомології цього комплексу і називаються клітинними гомологіями комплексу $X$.

Граничні відображення за допомогою степенів відображень

Граничні відображення у комплексі також модна задати за допомогою степенів відображень. А саме, нехай $e_{n}^{\alpha }$ є $n$-клітиною $X$ і $\chi _{n}^{\alpha }:\partial e_{n}^{\alpha }\cong \mathbb {S} ^{n-1}\to X_{n-1}$ є її відображенням склеювання. Розглянемо композицію відображень

$\chi _{n}^{\alpha \beta }:\mathbb {S} ^{n-1}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{n}^{\alpha }\,{\stackrel {\chi _{n}^{\alpha }}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}\,{\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\mathbb {S} ^{n-1},$

де перше відображення ідентифікує $\mathbb {S} ^{n-1}$ із $\partial e_{n}^{\alpha }\$, $e_{n-1}^{\beta }$ є $(n-1)$-клітиною у X, третє відображення $q$ є фактор відображенням яке стискає $X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }$ у точку (перетворюючи при цьому $e_{n-1}^{\beta }$ у сферу $\mathbb {S} ^{n-1}$), і останнє відображення ідентифікує $X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)$ із $\mathbb {S} ^{n-1}$ за допомогою характеристичного відображення $\Phi _{n-1}^{\beta }$ клітини $e_{n-1}^{\beta }$.

Тоді граничне відображення

$d_{n}:{H_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {H_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})$

на відповідному елементі задається формулою

${d_{n}}(e_{n}^{\alpha })=\sum _{\beta }\deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)e_{n-1}^{\beta },$

де $\deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)$ є степенем відображення $\chi _{n}^{\alpha \beta }$ і сума береться за всіма $(n-1)$-клітинами у $X$, що розглядаються як породжуючі елементи у ${C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})$ (оскільки за означенням CW-комплекса образ границі $n$клітини при відображенні склеювання належить скінченній кількості $(n-1)$-клітин, то усі доданки у сумі крім скінченної кількості будуть нульовими).

Приклади

n-сфера

Для n-вимірної сфери Sⁿ існує клітинне розбиття із двома клітинами, однією 0-клітиною і однією n-клітиною. При цьому n-клітина приєднується за допомогою сталого відображення із $S^{n-1}$ на 0-клітину. Оскільки породжуючими елементами груп ${H_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})$ є k-клітини у розбитті Sⁿ, то ${H_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})=\mathbb {Z}$ для $k=0,n,$ а інші групи є тривіальними.

Тому для $n>1$, відповідний ланцюговий комплекс є рівним:

$\dotsb {\overset {\partial _{n+2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0,$

і оскільки всі граничні відображення є відображеннями з або на тривіальні групи, вони всі є нульовими гомоморфізмами. Тож клітинні гомологічні групи є:

$H_{k}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&k\neq 0,n\end{cases}}.$

Якщо $n=1$, то граничне відображення $\partial _{1}$ теж є нульовим, тож формула є справедливою для всіх додатних $n$.

Поверхні роду g

За допомогою клітинної гомології можна також обчислити гомології поверхні роду g $\Sigma _{g}$. Фундаментальним многокутником $\Sigma _{g}$ є $4n$-кутник і звідси одержується клітинне розбиття $\Sigma _{g}$ із однією 2-клітиною, $2n$ 1-клітинами і однією 0-клітиною. 2-клітина приєднується вздовж границі $4n$-кутника, який містить кожну 1-клітину двічі, в різному порядку. Тому степінь відповідного відображення є рівним нулю. Також відображення склеювання для кожної 1-клітини має степінь рівний 0, оскільки це є відображення із $S^{0}$ на 0-клітину. Тож відповідний ланцюговий комплекс є

$\cdots \to 0\xrightarrow {\partial _{3}} \mathbb {Z} \xrightarrow {\partial _{2}} \mathbb {Z} ^{2g}\xrightarrow {\partial _{1}} \mathbb {Z} \to 0,$

де всі граничні відображення є нульовими. Отже клітинна гомологія поверхні роду g є рівною

$H_{k}(\Sigma _{g})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} ^{2g}&k=1\\\{0\}&k\neq 0,1,2.\end{cases}}$

Для неорієнтованих поверхонь роду g можна задати клітинне розбиття із 1-єю 0-клітиною, g 1-клітинами, і 1-єю 2-клітиною. Гомологічні групи для цих поверхонь є рівними

$H_{k}(\Sigma _{g})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} ^{g-1}\oplus \mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&\neq 0,1,2.\end{cases}}$

Тор

Для n-тора $(S^{1})^{n}$ існує клітинне розбиття із 1-єю 0-клітиною, n 1-клітинами, ..., і 1-єю n-клітиною. Ланцюговий комплекс є

$0\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{n}}\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{n-1}}\to \cdots \to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{1}}\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{0}}\to 0$ і всі граничні відображення є нульовими.

Тому, $H_{k}((S^{1})^{n})\simeq \mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}$ .

Комплексний проєктивний простір

Якщо $X$ не має клітин суміжної розмірності, (тобто якщо у ньому є n-клітини, то немає (n-1)-клітин і (n+1)-клітин), тоді $H_{n}^{CW}(X)$ є вільною абелевою групою породженою n-клітинами, для кожного $n$.

Комплексний проєктивний простір $P^{n}\mathbb {C}$ можна одержати склеюванням 0-клітини, 2-клітини, ... і зрештою (2n)-клітини, тому $H_{k}(P^{n}\mathbb {C} )=\mathbb {Z}$ для $k=0,2,...,2n$, і $H_{k}(P^{n}\mathbb {C} )=\{0\}$ для непарних k.

Дійсний проєктивний простір

Дійсний проєктивний простір $\mathbb {R} P^{n}$ має клітинне розбиття із однією $k$-клітиною $e_{k}$ для всіх $k\in \{0,1,\dots ,n\}$. Відображеннями склеювання для цих $k$-клітин є подвійне накриття $\varphi _{k}\colon S^{k-1}\to \mathbb {R} P^{k-1}$. Тому зокрема $k$-кістяк $\mathbb {R} P_{k}^{n}\cong \mathbb {R} P^{k}$ для всіх $k\in \{0,1,\dots ,n\}$. Також $C_{k}(\mathbb {R} P_{k}^{n},\mathbb {R} P_{k-1}^{n})\cong \mathbb {Z}$ для всіх $k\in \{0,1,\dots ,n\}$.

Для обчислення граничного відображення

$d_{k}\colon H_{k}(\mathbb {R} P_{k}^{n},\mathbb {R} P_{k-1}^{n})\to H_{k-1}(\mathbb {R} P_{k-1}^{n},\mathbb {R} P_{k-2}^{n}),$

необхідно визначити степінь відображення

$\chi _{k}\colon S^{k-1}{\overset {\varphi _{k}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} P^{k-1}{\overset {q_{k}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} P^{k-1}/\mathbb {R} P^{k-2}\cong S^{k-1}.$

Для цього слід зауважити, що $\varphi _{k}^{-1}(\mathbb {R} P^{k-2})=S^{k-2}\subseteq S^{k-1}$, і для кожної точки $x\in \mathbb {R} P^{k-1}\setminus \mathbb {R} P^{k-2}$, прообраз $\varphi ^{-1}(\{x\})$ складається із двох точок, по одній у кожній компоненті зв'язності (відкритій напівсфері) $S^{k-1}\setminus S^{k-2}$. Тому для знаходження степеня відображення $\chi _{k}$, достатньо знайти локальні степені $\chi _{k}$ на кожній із цих відкритих напівсфер. Нехай вони позначаються $B_{k}$ і ${\tilde {B}}_{k}$. Тоді $\chi _{k}|_{B_{k}}$ і $\chi _{k}|_{{\tilde {B}}_{k}}$ є гомеоморфізмами і $\chi _{k}|_{{\tilde {B}}_{k}}=\chi _{k}|_{B_{k}}\circ A$, де $A$ є антиподальним відображенням. Степінь $A$ на $S^{k-1}$ є рівним $(-1)^{k}$. Тому можна вважати, що локальний степінь $\chi _{k}$ на $B_{k}$ є рівним $1$ і тоді локальний степінь $\chi _{k}$ на ${\tilde {B}}_{k}$ є рівним $(-1)^{k}$. Додаючи локальні степені можна одержати значення степеня відображення

$\deg(\chi _{k})=1+(-1)^{k}={\begin{cases}2&k=2j\\0&k=2j+1\end{cases}}.$

Тоді граничне відображення $\partial _{k}$ є множенням на $\deg(\chi _{k})$ у групі цілих чисел, і звідси утворюється ланцюговий комплекс:

$0\longrightarrow \mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {2}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {0}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {2}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {0}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \longrightarrow 0,$

де $\partial _{n}(a)=2a$ якщо $n$ є парним числом і $\partial _{n}(a)=0$ якщо $n$ є непарним числом.

Із цього комплексу обчислюється клітинна гомологія для $\mathbb {R} P^{n}$:

$H_{k}(\mathbb {R} P^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{if }}k=0{\text{ і }}k=n{\text{ odd}},\\\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &{\text{if }}0<k<n{\text{ odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Інші властивості

• $n$-кістяк однозначно визначає всі гомологічні модулі нижчих порядків:

${H_{k}}(X)\cong {H_{k}}(X_{n})$

для $k<n$.

Еквівалентність клітинної і сингулярної гомологій

Для CW-комплекса гомологічні групи у клітинній гомології є ізоморфними гомологічним групам сингулярної гомології. Якщо для простору існує триангуляція то клітинна гомологія також є ізоморфною симпліційній.

Доведення еквівалентності сингулярної і клітинної гомологій здійснюється за допомогою аналізу точних послідовностей для пари просторів $(X_{n},X_{n-1})$ і ланцюгового комплексу із означення клітинної гомології.

Нехай

$\cdots \to H_{r+1}(X_{n},X_{n-1}){\stackrel {\partial }{\to }}H_{r}(X_{n-1}){\stackrel {i}{\to }}H_{r}(X_{n}){\stackrel {j}{\to }}H_{r}(X_{n},X_{n-1})\to \cdots$

є частиною точної послідовності пари $(X_{n},X_{n-1}).$ Оскільки ${H_{r}}(X_{n},X_{n-1})=0$ для $r\neq n$ то $i:H_{r}(X^{n-1})\to H_{r}(X^{n})$ є ізоморфізмом для $r\neq n-1,\ n.$ Тому для $r>n$ буде

$H_{r}(X_{n})\cong H_{r}(X_{n-1})\cong \ldots \cong H_{r}{X_{-1}}=0.$

Звідси також випливає, що відображення $j:H_{n}(X_{n})\to H_{n}(X_{n},X_{n-1})$ є ін'єктивним.

Нехай тепер

$H_{n+1}(X_{n+1},X_{n}){\stackrel {\partial _{n+1}}{\to }}H_{n}(X_{n}){\stackrel {j_{n}}{\to }}H_{n}(X_{n},X_{n-1}){\stackrel {\partial _{n}}{\to }}H_{n-1}(X_{n-1}){\stackrel {j_{n-1}}{\to }}H_{n}(X_{n-1},X_{n-2})$

є частиною ланцюгового комплексу із означення клітинної гомології із проміжними відображеннями. Для спрощення надалі також позначатиметься $C_{n}:=H_{n}(X_{n},X_{n-1})$ із відповідними позначеннями для ядер, границь і гомологій цього комплексу.

Оскільки відображення $j_{n-1}$ є ін'єктивним, то

$Z_{n}(C)=\ker \partial _{n}=\operatorname {im} j_{n}\cong H_{n}(X^{n})$

де останній ізоморфізм випливає із ін'єктивності $j_{n}.$

Звідси

$H_{n}(C)=Z_{n}(C)/B_{n}(C)\cong H_{n}(X_{n})/\operatorname {im} \partial _{n+1}$.

Але із довгої точної послідовності для пари $(X_{n+1},X_{n})$ випливає, що

$\operatorname {im} \partial _{n+1}=\ker \left[i_{n+1}:H_{n}(X_{n})\to H_{n}(X_{n+1})\right]$

і тому відповідно

$H_{n}(C)=\operatorname {im} \left[i_{n+1}:H_{n}(X_{n})\to H_{n}(X_{n+1})\right].$

Але оскільки ${H_{n}}(X_{n+1},X_{n})=0$ знову ж використовуючи довгу точну послідовність для пари просторів $(X_{n+1},X_{n})$ остаточно $H_{n}(C)\cong H_{n}(X_{n+1}).$

Але із вказаних вище ізоморфізмів

$H_{n}(X_{n+1})\cong H_{n}(X_{n+2})\cong H_{n}(X_{n+3})\cong \ldots$

Це завершує доведення у випадку скінченновимірного комплексу, тобто у випадку $X=X_{m}$ для деякого додатного $m.$

У нескінченновимірному випадку кожен цикл $z$, що представляє елемент у $H_{n}(X)$ є формальною скінченною сумою сингулярних симплексів, що є образами неперервних відображень із стандартного симплекса. Оскільки кожен такий образ є компактною множиною то всі вони загалом містяться у деякому скінченному підкомплексі і тому зокрема $z$ є елементом $S_{n}(X_{p})$ де можна вважати, що $p>n.$ Але, як вказано вище $H_{n}(X_{n+1})\cong H_{n}(X_{p})$ і тому всі елементи $H_{n}(X)$ мають відповідники у $H_{n}(C)\cong H_{n}(X_{n+1}).$ Іншими словами існує сюр'єктивний гомоморфізм із $H_{n}(C)$ у $H_{n}(X)$. Подібним чином, якщо деякий елемент $H_{n}(X_{n+1})$ є рівним нулю у $H_{n}(X)$, то він має бути нульовим у $H_{n}(X_{p})$ і з $H_{n}(X_{n+1})\cong H_{n}(X_{p})$ випливає, що сам цей елемент є нулем. Тобто гомоморфізм із $H_{n}(C)\cong H_{n}(X_{n+1})$ у $H_{n}(X)$ є також ін'єктивним, що завершує доведення еквівалентності.

Узагальнення

Спектральна послідовність Атії — Хірцебруха є аналогічним методом обчислення(ко)гомології для CW-комплекса, для довільної екстраординарної (ко)гомологічної теорії.

Характеристика Ейлера

Для CW-комплексу $X$ із скінченно кількістю клітин, нехай $c_{j}$ позначає кількість $j$-клітин, тобто ранг ${C_{j}}(X_{j},X_{j-1})$ як вільної абелевої групи. Характеристика Ейлера комплекса $X$ за означенням є рівною

$\chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.$

Характеристика Ейлера є гомотопним інваріантом. У термінах чисел Бетті для $X$:

$\chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {Rank} ({H_{j}}(X)).$

Це випливає із довгої точної послідовності відносної гомології для трійки $(X_{n},X_{n-1},\varnothing )$:

$\cdots \to {H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},X_{n-1})\to \cdots .$

Розбиваючи цю послідовність на короткі точні послідовності можна одержати співвідношення:

$\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},X_{n-1}))+\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )).$

і такі ж для $(X_{n-1},X_{n-2},\varnothing )$, $(X_{n-2},X_{n-3},\varnothing )$, і т.д. За індукцією:

$\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\;\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{j=0}^{n}\sum _{i=0}^{j}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{j},X_{j-1}))=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.$

Див. також

• CW-комплекс
• Симпліціальна гомологія
• Сингулярні гомології

Література

• Albrecht Dold: Lectures on Algebraic Topology, Springer ISBN 3-540-58660-1.
• Allen Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-79540-1.