Фактор-група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Фактор-група[1] — в теорії груп, група класів еквівалентності відносно деякого відношення еквівалентності. Тобто, фактор-множина, що має властивості групи.

Визначення[ред. | ред. код]

Нехай  — група, і  — її нормальна підгрупа, тобто для довільного його класи суміжності збігаються:

Тоді на класах суміжності в можна ввести множення:

Легко перевірити, що це множення не залежить від вибору елементів у класах суміжності, тобто якщо і , то . Воно визначає структуру групи на множині класів суміжності, а одержана група називається фактор-групою по .

Фактор-група позначається .

Властивості[ред. | ред. код]

  • Теорема про гомоморфізм: Для довільного гомоморфізму
,
тобто фактор-група за ядром ізоморфна її образу в .
  • Відображення задає природний гомоморфізм .
  • Порядок рівний індексу підгрупи . У випадку скінченної групи він рівний .
  • Якщо абелева, нільпотентна, циклічна або скінченнопороджена, то і буде мати такі ж властивості.
  • ізоморфна тривіальній групі (), ізоморфна .

Приклади[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]


  1. Термін у словниках