Многочлен Джонса

Многочлен Джонса
Названо на честь	Воен Джонс
Першовідкривач або винахідник	Воен Джонс
Дата відкриття (винаходу)	1984
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

Многочлен Джонса — поліноміальний інваріант вузла, який зіставляє кожному вузлу або зачепленню многочлен Лорана від формальної змінної $t^{1/2}$ з цілими коефіцієнтами. Побудував Воен Джонс в 1984 році.

Визначення через дужку Кауфмана

Для заданого орієнтованого зачеплення $L$ визначається допоміжний многочлен:

$X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle$,

де $w(L)$ — число закрученості діаграми $L$, а $\langle L\rangle$ — дужка Кауфмана. Число закрученості визначається як різниця між числом додатних перехресть $L_{+}$ і числом від'ємних перехресть $L_{-}$ і не є інваріантом вузла: воно не зберігається під час перетворень Рейдемейстера I типу.

$X(L)$ — інваріант вузла, оскільки він інваріантний відносно всіх трьох перетворень Рейдемейстера діаграми $L$. Інваріантність відносно перетворень II і III типів випливає з інваріантності дужки Кауфмана і числа закрученості відносно цих перетворень. Навпаки, для перетворення I типу дужка Кауфмана множиться на $-A^{\pm 3}$, що точно компенсується зміною на +1 або -1 числа закрученості $w(L)$.

Многочлен Джонса визначається з $X(L)$ підстановкою:

$A=t^{-1/4}$,

кінцевий вираз є многочленом Лорана від змінної $t^{1/2}$.

Визначення через представлення групи кіс

Оригінальне визначення Джонса використовує операторну алгебру і поняття сліду подання кіс, що виникло в статистичній механіці (модель Поттса).

Теорема Александера стверджує, що будь-яке зачеплення $L$ є замиканням коси з $n$ нитками, тому можна визначити подання $\rho$ групи кіс $B_{n}$ з $n$ нитками на алгебрі Темперлі — Ліба $TL_{n}$ з коефіцієнтами з $\mathbb {Z} [A,A^{-1}]$ і $\delta =-A^{2}-A^{-2}$. Стандартна твірна коси $\sigma _{i}$ дорівнює $A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1$, де $1,e_{1},e_{2},...,e_{n-1}$ — стандартні твірні алгебри Темперлі — Ліба. Для слова $\sigma$ коси $L$ обчислюється $\sigma ^{n-1}tr\rho (\sigma )$, де $tr$ — слід Маркова, в результаті отримуємо $\langle L\rangle$, де $\langle$ $\rangle$ — дужковий поліном.

Перевага цього підходу полягає в тому, що вибравши аналогічні подання в інших алгебрах, таких як подання $R$-матриць, можна прийти до узагальнень інваріантів Джонса (наприклад, таким є поняття $k$-паралельного полінома Джонса).

Визначення через скейн-співвідношення

Многочлен Джонса однозначно задається тим, що він дорівнює 1 на будь-якій діаграмі тривіального вузла, і таким скейн-співвідношенням:

$(t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})$,

де $L_{+}$, $L_{-}$, і $L_{0}$ — три орієнтованих діаграми зачеплення, що збігаються скрізь, крім малої ділянки, де їхня поведінка відповідно є додатним і від'ємним перетинами і гладким проходом без спільних точок:

Кольоровий многочлен Джонса

Для додатного цілого числа $N$, $N$-колірний многочлен Джонса $V_{N}(L,t)$ — це узагальнення многочлена Джонса. Це інваріант Решетіхіна — Тураєва, пов'язаний із $(N+1)$-незвідним представленням квантової групи $U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})$. У цій схемі многочлен Джонса є 1-колірним многочленом Джонса, інваріантом Решетіхіна — Тураєва, пов'язаним із стандартним представленням (незвідним і двовимірним) $U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})$. Вважають, що нитки зачеплення «забарвлені» представленням, звідси й назва.

Загальніше, якщо дано зачеплення $L$ із $k$ компонентів і представлення $V_{1},\ldots ,V_{k}$ з $U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})$, то $(V_{1},\ldots ,V_{k})$-колірний многочлен Джонса $V_{V_{1},\ldots ,V_{k}}(L,t)$ — це інваріант Решетіхіна — Тураєва, пов'язаний із $V_{1},\ldots ,V_{k}$ (тут ми припускаємо, що компоненти впорядковані). За наявності двох представлень $V$ і $W$, кольорові многочлени Джонса задовольняють такі дві властивості:

• $V_{V\oplus W}(L,t)=V_{V}(L,t)+V_{W}(L,t)$,
• $V_{V\otimes W}(L,t)=V_{V,W}(L^{2},t)$, де $L^{2}$ позначає кабельна сума^{[прояснити: ком.]} двох $L$.

Ці властивості виводяться з того факту, що кольорові многочлени Джонса є інваріантами Решетіхіна — Тураєва.

Нехай $K$ — вузол. Згадаймо, що, розглядаючи діаграму $K$ як елемент алгебри Темперлі-Ліба завдяки дужці Кауфмана, можна відновити многочлен Джонса від $K$. Подібно, $N$-колірний многочлен Джонса для $K$ можна комбінаторно описати за допомогою ідемпотентів Джонса — Венцля так:

• візьмемо $N$-кабельну суму $K^{N}$ вузлів $K$;
• розглянемо її як елемент алгебри Темперлі — Ліба;
• вставимо ідемпотенти Джонса — Венцля в деякі $N$ паралельних ниток.

Отриманий елемент $\mathbb {Q} (t)$ є $N$-колірним многочленом Джонса.

Зв'язок з іншими теоріями

Теорія Черна — Саймонса описує топологічний порядок у станах дробового квантового ефекту Холла. З точки зору математики теорія Черна — Саймонса цікава тим, що дозволяє обчислювати інваріанти вузлів, такі як многочлен Джонса.

2000 року Михайло Хованов побудував ланцюговий комплекс для вузлів і зачеплень і показав, що гомології цього комплексу є інваріантом вузлів (гомології Хованова). Ця теорія гомологій є категорифікацією многочлена Джонса, тобто многочлен Джонса є ейлеровою характеристикою для цієї гомології.

Властивості

Многочлен Джонса має багато чудових властивостей.

Для зачеплень з непарним числом компонент (зокрема, для вузлів) усі степені змінної $t$ у многочлені Джонса цілі, а для зачеплень з парним числом компонент — напівцілі.

Многочлен Джонса зв'язної суми вузлів дорівнює добутку поліномів Джонса доданків, тобто:

$V(L_{1}\#L_{2})=V(L_{1})V(L_{2})$.

Многочлен Джонса незв'язної суми вузлів дорівнює:

$V(L_{1}\cup L_{2})=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L_{1})V(L_{2})$.

Многочлен Джонса об'єднання зачеплення $L$ і тривіального вузла дорівнює:

$V(L\cup O)=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L)$.

Для $L^{*_{k}}$ орієнтованого зачеплення, одержаного із заданого орієнтованого зачеплення $L$ заміною орієнтації деякої компоненти $k$ на протилежну, має місце:

$V_{L^{*}}=t^{-3\cdot \lambda }\cdot V(L)$,

де $\lambda$ — це коефіцієнт зачеплення компоненти $k$ і $L-k$.

Многочлен Джонса не змінюється за обернення вузла, тобто після заміни напрямку обходу на протилежний (зміні орієнтації).

Дзеркально-симетричний образ зачеплення має многочлен Джонса, отримуваний заміною $t$ на $t^{-1}$ (властивість легко перевірити з використанням визначення через дужку Кауфмана).

Якщо $K$ — вузол, то:

$V_{K}(e^{2\pi i/3})=1$.

Значення многочлена Джонса для вузла $L$ з числом компонент зачеплення $p$ в точці 1:

$V_{L}(1)=(-2)^{p-1}$.

Многочлен Джонса $(m,n)$-торичного вузла:

$V(t)={\frac {t^{\frac {(m-1)\cdot (n-1)}{2}}\cdot (1-t^{m+1}-t^{n+1}+t^{m+n})}{1-t^{2}}}$.

Відкриті проблеми

2003 року побудовано сімейство нетривіальних зачеплень із многочленом Джонса рівним многочлену Джонса тривіального зачеплення, при цьому невідомо, чи існує нетривіальний вузол, многочлен Джонса якого є таким самим, як у тривіального вузла. 2017 року побудовано сімейство нетривіальних вузлів $K_{r}$ з $20\cdot 2^{r-1}+1$ перетинами, для яких многочлен Джонса $V(K_{r})$ порівнянний з одиницею за модулем $2^{r}$.

Див. також

• Квантовий інваріант
• Многочлен HOMFLY

Література

• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. — М. : МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3. Архівовано з джерела 27 січня 2021