Кон'юнкція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Кон'юнкція (лат. conjangere — об'єднувати) (операція AND) — двомісна логічна операція, що має значення «істина», якщо всі операнди мають значення «істина». Операція передбачає вживання сполучника «і» в логічних висловлюваннях.

Позначення[ред.ред. код]

And зазвичай виражається з префіксом оператора K, або інфікс оператора. В математичній логіці, інфікс оператор, як правило, , в електроніці \cdot, а в мовах програмування, & або and.

Правила усунення[ред.ред. код]

A,
B.
Отже, A і B.

Або в позначенні логічного оператора:

 A,
 B
 \vdash A \and B

Приклад:

Петро любить яблука.
Петро любить сало.
Отже, Петро любить яблука і сало.

Кон'юктивне усунення є іншим класичним дійсним, простим аргументом форми. Інтуїтивно, це дозволяє зробити висновок з будь-якої кон'юнкції або елемента цієї кон'юнкції.

A and B.
Отже, A.

...або навпаки,

A and B.
Отже, B.

В позначенні логічного оператора:

 A \and B
 \vdash A

...або навпаки,

 A \and B
 \vdash B


Визначення[ред.ред. код]

Діаграма Венна для операції A \land B

Таблиця істинності виглядає таким чином:

~A ~B A \land B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Відповідною операцією в теорії множин є перетин множин.

Властивості[ред.ред. код]

a \land (b \land c) \equiv (a \land b) \land c
a \land  b \equiv b \land a
a \land (b \lor c) \equiv (a \land b) \lor (a \land c)
a \land (b \land c) \equiv (a \land b) \land (a \land c)
a \land (b \oplus c) \equiv (a \land b) \oplus (a \land c)
a \land a \equiv a
(a \rightarrow b) \rightarrow ((c \land a) \rightarrow (c \land b))
(a \rightarrow b) \rightarrow ((a \land c) \rightarrow (b \land c))

Функціональна повнота[ред.ред. код]

Множина операцій \{ \land, \lnot \} є функціонально повною:

a \lor b \equiv \lnot (\lnot a \land \lnot b)
a \rightarrow b \equiv \lnot (a \land \lnot b)
a \;|\; b \equiv \lnot (a \land b)
a \downarrow b \equiv \lnot a \land \lnot b

Кон'юнкція в програмуванні[ред.ред. код]

AND Gate diagram.svg

В комп'ютерному програмуванні і цифровій електроніці високого рівня логічне множення широко представлене інфіксним оператором, як правило, ключовими словами або символами, такими як: "AND", алгебраїчне множення, або символ "&". Логічні зв'язки часто використовуються для бітових операцій, де " 0 " відповідає хибі та " 1 " відповідає істині:

  • 0 AND 0  =  0,
  • 0 AND 1  =  0,
  • 1 AND 0  =  0,
  • 1 AND 1  =  1.

Операція може бути застосована і до двох бінарних виразів рівної довжини, приймаючи побітове AND кожної пари бітів на відповідних позиціях. Наприклад:

  • 11000110 AND 10100011  =  10000010.

Див. також[ред.ред. код]