Лема Іто використовується в стохастичному аналізі для знаходження диференціалу від функції, аргументом якої є випадковий процес. Назву отримала на честь японського математика Кійосі Іто. Лема є аналогом правила диференціювання складеної функції в звичайному математичному аналізі. Її найкраще можна запам'ятати, використовуючи розклад функції в ряд Тейлора до другого степеня по випадковому компоненту функції. Результат широко використовується у фінансовій математиці, зокрема у формулі Блека — Шоулза для оцінки вартості кол-опціонів. Формулу іноді називають теоремою Іто — Добліна на честь Вольвганга Добліна, який також її вивів, але його записки були знайдені і оприлюднені тільки в 2000 році.[1]
Найпростіше формулювання леми Іто: для дифузійного процесу
![{\displaystyle dX_{t}=\sigma _{t}\,dB_{t}+\mu _{t}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8478410871877cbdf4bb95b9d05f220287d5224)
де
— диференціал Вінерівського процесу. Виразом
не можна знехтувати у розкладі Тейлора, він еквівалентний
, тоді як
так само як і
зануляється і ними можна знехтувати. Тому для двічі неперервно-диференційовної функції ƒ(t, x) (тобто для цієї функції визначені перша і друга частинні похідні) від двох дійсних параметрів t і x, використовуючи розклад Тейлора
![{\displaystyle {\begin{aligned}df(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}(dt)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t\partial x}}dtdx+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}\right)+\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/821f30933d9b70c08ac0b2ca1b07abc94771cffd)
використовуючи позначення
![{\displaystyle f'(t,x)={\frac {\partial f}{\partial x}}(t,x),\quad f''(t,x)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(t,x),\quad {\dot {f}}(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c4c91a13602649d02806ab537cb6f2ac156eed)
і замінюючи
на
, отримуємо
![{\displaystyle {\begin{aligned}df(t,X_{t})&={\dot {f}}(t,X_{t})\,dt+f'(t,X_{t})(\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t})+{\frac {1}{2}}f''(t,X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt=\\&=\left({\dot {f}}(t,X_{t})+\mu _{t}f'(t,X_{t})+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}f''(t,X_{t})\right)dt+f'(t,X_{t})\sigma _{t}\,dB_{t}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4b5c84572adb35691b47203f990a09e12f6137)
Багатовимірний варіант,
![{\displaystyle df\left(t,X_{t}\right)={\dot {f}}_{t}\left(t,X_{t}\right)dt+\nabla _{X_{t}}^{T}f\cdot dX_{t}+{\frac {1}{2}}dX_{t}^{T}\cdot \nabla _{X_{t}}^{2}f\cdot dX_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03d44a5811f94d3f0d023a86f14a0bdd9731523)
де
— вектор дифузійних процесів,
— частинна похідна по t,
— градієнт функції ƒ по X, і
— матриця Гессе функції ƒ по X.
Більш загально формула Іто виконується для будь-якого неперервного d-вимірного напівмартингалу X = (X1,X2,…,Xd), і двічі неперервно-диференційовної і дійснозначної функції f в Rd.
Іноді формулу презентують з перехресною варіацією наступним чином, f(X) напівмартингал, що задовольняє формулу Іто
![{\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{ij}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf8371b2ffe335d3c4e8558c4cbf9df93071fed)
В цьому виразі fi — частинна похідна функції f(x) по xi, і [Xi,Xj ] — квадратична варіація процесів Xi і Xj.
Лема Іто може бути застосована до загальних d-вимірних напівмартингалів, які можуть бути розривними. Взагалі напівмартингали — це càdlàg-процес (неперервний справа процес, що має лівосторонні границі), і тому додатковий одночлен необхідний для того щоб стрибки процесу були враховані лемою Іто.
Для довільного càdlàg-процесу Yt, лівостороння границя в точці t позначається Yt- і цей процес є неперервним зліва процесом. Стрибки записують як ΔYt = Yt - Yt-. Тоді лема Іто стверджує: якщо X = (X1,X2,…,Xd) — d-вимірний напівмартингал і f двічі неперервно диференційовна дійсно-значна функція на Rd тоді f(X) — напівмартингал, і
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t})=&f(X_{0})+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}(X_{s-})\,dX_{s}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^{i},X^{j}]_{s}\\&{}+\sum _{s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}\,\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7430c78ef3a38d4204ca37f66561e60271d44ad5)
Ця формула відрізняється від випадку неперервних напівмартингалів додатковою сумою по стрибках X, що забезпечує рівність стрибка правої частини тотожності ( в час t) стрибку лівої частини Δf(Xt).
Формальне доведення леми вимагає знаходження границі послідовності випадкових величин. Тут ми тільки дамо схему доведення леми Іто з використанням розкладу функції в ряд Тейлора і застосуванням правил стохастичного числення.
Нехай маємо процес Іто, записаний у формі
![{\displaystyle dx=a\,dt+b\,dB.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa7f000c2088618404855f057686a97b237f432)
Розкладаючи f(x, t) в ряд Тейлора в точці x і t маємо
![{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\,dx^{2}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e3ae0ae3ef1dc9f134ede65473189d4dd1f8020)
і підстановка dt + b dB замість dx дає
![{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}(a\,dt+b\,dB)+{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(a^{2}\,dt^{2}+2ab\,dt\,dB+b^{2}\,dB^{2})+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e575aad8e2e8cbffeaa8fbe303f4006e270dad29)
Границя при dt прямуючи до 0, dt2 та dt dB прямують до нуля, але вираз dB2 прямує до dt. Останній факт можна довести якщо ми покажемо, що
since ![{\displaystyle E(dB^{2})=dt.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ad5dca6f8f7b3c93bbed42a728ec80b67372e0)
Викидаючи доданки з dt2 та dt dB, підставляючи dt замість dB2, і зводячи доданки з dt та dB, отримуємо
![{\displaystyle df=\left(a{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}b^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+b{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ed581a09405a2e8384b6f203049e53051ff3b67)
що й потрібно було показати.
Формальне доведення леми набагато складніше.
- ↑ «Stochastic Calculus :: Itô-Döblin formula», Michael Stastny. Архів оригіналу за 16 липня 2011. Процитовано 16 квітня 2010.