Формула Іто

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лема Іто використовується в стохастичному аналізі для знаходження диференціалу від функції, аргументом якої є випадковий процес. Назву отримала на честь японського математика Кійоші Іто. Лема є аналогом правила диференціювання складної функції в звичайному математичному аналізі. Її найкраще можна запам'ятати, використовуючи розклад функції в ряд Тейлора до другого степеня по випадковому компоненту функції. Результат широко використовується у фінансовій математиці, зокрема у формулі Блека — Шоулза для оцінки вартості кол-опціонів. Формулу іноді називають теоремою Іто — Добліна на честь Вольвганга Добліна, який також її вивів, але його записки були знайдені і оприлюднені тільки в 2000 році.[1]

Лема Іто[ред.ред. код]

Для дифузійних процесів[ред.ред. код]

Найпростіше формулювання леми Іто: для дифузійного процесу

де  — диференціал Вінерівського процесу. Виразом не можна знехтувати у розкладі Тейлора, він еквівалентний , тоді як так само як і зануляється і ними можна знехтувати. Тому для двічі неперервно-диференційовної функції ƒ(t, x) (тобто для цієї функції визначені перша і друга частинні похідні) від двох дійсних параметрів t і x, використовуючи розклад Тейлора

використовуючи позначення

і замінюючи на , отримуємо

Багатовимірний варіант,

де  — вектор дифузійних процесів,  — частинна похідна по t,  — градієнт функції ƒ по X, і  — матриця Гессе функції ƒ по X.

Неперервні напівмартингали[ред.ред. код]

Більш загально формула Іто виконується для будь-якого неперервного d-вимірного напівмартингалу X = (X1,X2,…,Xd), і двічі неперервно-диференційовної і дійснозначної функції f в Rd.

Іноді формулу презентують з перехресною варіацією наступним чином, f(X) напівмартингал, що задовольняє формулу Іто

В цьому виразі fiчастинна похідна функції f(x) по xi, і [Xi,Xj ] — квадратична варіація процесів Xi і Xj.

Розривні напівмартинали[ред.ред. код]

Лема Іто може бути застосована до загальних d-вимірних напівмартингалів, які можуть бути розривними. Взагалі напівмартингали — це càdlàg-процес (неперервний справа процес, що має лівосторонні границі), і тому додатковий одночлен необхідний для того щоб стрибки процесу були враховані лемою Іто.

Для довільного càdlàg-процесу Yt, лівостороння границя в точці t позначається Yt- і цей процес є неперервним зліва процесом. Стрибки записують як ΔYt = Yt - Yt-. Тоді лема Іто стверджує: якщо X = (X1,X2,…,Xd) — d-вимірний напівмартингал і f двічі неперервно диференційовна дійсно-значна функція на Rd тоді f(X) — напівмартингал, і

Ця формула відрізняється від випадку неперервних напівмартингалів додатковою сумою по стрибках X, що забезпечує рівність стрибка правої частини тотожності ( в час t) стрибку лівої частини Δf(Xt).

Неформальне виведення[ред.ред. код]

Формальне доведення леми вимагає знаходження границі послідовності випадкових величин. Тут ми тільки дамо схему доведення леми Іто з використанням розкладу функції в ряд Тейлора і застосуванням правил стохастичного числення.

Нехай маємо процес Іто, записаний у формі

Розкладаючи f(xt) в ряд Тейлора в точці x і t маємо

і підстановка dt + b dB замість dx дає

Границя при dt прямуючи до 0, dt2 та dt dB прямують до нуля, але вираз dB2 прямує до dt. Останній факт можна довести якщо ми покажемо, що

since

Викидаючи доданки з dt2 та dt dB, підставляючи dt замість dB2, і зводячи доданки з dt та dB, отримуємо

що й потрібно було показати.

Формальне доведення леми набагато складніше.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. «Stochastic Calculus :: Itô-Döblin formula», Michael Stastny