Напівмартингал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В теорії імовірності дійснозначний випадковий процес називається напівмарнтингалом, якщо його можна подати у вигляді суми локального мартингалу і адаптованого процесу зі скінченною варіацією. Напівмартингали є добрими інтеграторами, власне напівмартингали формують найбільший клас випадкових процесів, відносно яких визначений інтеграл Іто. Напівмартингали формують досить широкий клас процесів, зокрема всі неперервно-диференційовні процеси, Вінерівський процес і Пуасонівський процес належать до напівмартингалів. Супермартингали і субмартингали утворюють підклас напівмартингалів.

Означення[ред.ред. код]

Дійснозначний випадковий процес X визначений на ймовірнісному просторі з фільтрацією (Ω,F,(Ft)t ≥ 0,P) називається напівмартингалом, якщо його можна подати у вигляді

X_t = M_t + A_t

де Mлокальний мартингал, а Aнеперервний зправа з визначеною лівосторонньою границею (НПЛГ, фр. càdlàg) адаптований процес з локально обмеженою варіацією.

Процес X = (X1,…,Xn) зі значеннями в Rn є напівмартингалом в Rn, якщо кожна його компонента Xi напівмартингал.

Приклади напівмартингалів[ред.ред. код]

  • Адаптований і неперервно-диференційовний процес має скінченну варіацію, а одже, є напівмартингалом.
  • Вінерівський процес напівмартингал.
  • Всі НПЛГ мартингали, субмартингали і супермартингали є напівмартингалами.
  • Процес Іто, такий що задовольняє стохастичне диференціальне рівняння вигляду dX = σdW + μdt є напівмартингалом. Тут, W Вінерівський процес і σ, μ адаптовані процеси.
  • Кожен процес Леві напівмартингал.