Лема Адамара

Лема Адамара (англ. Hadamard's lemma) — твердження, що описує будову гладкої дійсної функції. Названа на честь французького математика Жака Адамара.

Нехай $f: \R^n\to\R$ — функція класу $\,C^{r}$, де $r \ge 1$, визначена у випуклому околі $U$ точки $0$. Тоді існують такі функції $g_1, \ldots, g_n: \R^n\to\R$ класу $\,C^{r-1}$, визначені в $U$, що для всіх $x=(x_1, \ldots, x_n)\in U$ має місце рівність $f(x_1, \ldots, x_n) = f(0) + \sum_{i=1}^{n} x_i\,g_i(x_1, \ldots, x_n), \ \quad g_i(0)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0).$

Якщо функція $f$ — аналітична, то й функції $g_1, \ldots, g_n$ у наведеній вище формулі аналітичні.

Узагальнене формулювання

Лема Адамара може бути сформульована у загальнішій формі, коли частина змінних грає роль параметрів.

Нехай $f(x,y): \R^n \times \R^m \to\R$ — функція класу $\,C^{r}$, де $r \ge 1$, визначена на випуклому околі $U$ точки $0$, при цьому $x=(x_1, \ldots, x_n)$ і $y=(y_1, \ldots, y_m)$. Тоді існують такі функції $g_1(x,y), \ldots, g_n(x,y): \R^n \times \R^m \to\R$ класу $\,C^{r-1}$, визначені в $U$, що для всіх $(x,y)\in U$ має місце рівність $f(x,y) = f(0,y) + \sum_{i=1}^{n} x_i\,g_i(x,y), \ \quad g_i(0,y)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0,y).$

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію $f(tx,y) = f(tx_1,\ldots,tx_n, y_1,\ldots,y_m)$, де $t$ — додаткова дійсна змінна (параметр). Нехай $t$ пробігає значення з відрізку $[0,1]$, тоді функція $\,f(tx,y)$, що розглядається як функція $\R^{n+m} \to \R$ при кожному фіксованому значенні параметра $t$, пробігає в просторі функцій від $n+m$ змінних деяку криву з кінцями $\,f(0,y)$ и $\,f(x,y)$.

Розглядаючи $\,f(tx,y)$ як функцію змінної $t$, залежну від параметрів $x \in R^n$ і $y \in R^m$, і застосувуючи формулу Ньютона—Лейбніца, можна записати:

$f(x,y) - f(0,y) = \int_{0}^{1} \frac{d f(tx,y)}{dt}\,dt = \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n} x_i \,\frac{\partial f}{\partial x_i}(tx,y)\, dt = \sum_{i=1}^{n} x_i g_i(x,y),$

де

$g_i(x,y) := \int_{0}^{1} \frac{\partial f}{\partial x_i}(tx,y)\, dt.$

Необхідна гладкість функцій $g_i(x,y)\,$ випливає з відомої теореми про диференціювання інтеграла, що залежить від параметра.

Застосування

Лема Адамара дозволяє отримати низку корисних наслідків, що знаходять застосування в різних розділах математики, в першу чергу, в теорії особливостей.

• За допомогою леми Адамара легко доводиться Лема Морса.

• Інший корисний наслідок леми Адамара (в її узагальненому вигляді) полягає в тому, що якщо росток гладкої функції $f(x,y_1, \ldots, y_m)$ обертається в нуль на гіперплощині $\,x=0$, то його можна подати у вигляді $f=x\,g(x,y_1, \ldots, y_m),$ де $\,g$ — деяка гладка функція.

• Звідси слідує, що для ростка довільної гладкої функції $f(x,y_1, \ldots, y_m)$ має місце подання $f= f_0(y_1, \ldots, y_m) + x\,g(x,y_1, \ldots, y_m),$ де $f_0=f(0,y_1, \ldots, y_m)$ і $\,g$ — гладкі функції.

• Застосовуючи індукцію, звідси неважко отримати також загальніше представлення:

$f= f_0(y_1, \ldots, y_m) + x\,f_1(y_1, \ldots, y_m) + \cdots+ x^n\,f_n(y_1, \ldots, y_m) + x^{n+1}\,g(x,y_1, \ldots, y_m),$

де $f_i(y_1, \ldots, y_m)$ и $\,g$ — гладкі функції та $\,n$ — довільне натуральне число.

Див. також

• Формула Тейлора
• Лема Морса

Література

• Зорич В. А. Математический анализ, — Будь-яке видання.