Лема Адамара

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лема Адамара (англ. Hadamard's lemma) — твердження, що описує будову гладкої дійсної функції. Названа на честь французького математика Жака Адамара.

Нехай f: \R^n\to\R — функція класу \,C^{r}, де r \ge 1, визначена у випуклому околі U точки 0. Тоді існують такі функції g_1, \ldots, g_n: \R^n\to\R класу \,C^{r-1}, визначені в U, що для всіх x=(x_1, \ldots, x_n)\in U має місце рівність

f(x_1, \ldots, x_n) = f(0) + \sum_{i=1}^{n} x_i\,g_i(x_1, \ldots, x_n), \ \quad g_i(0)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0).

Якщо функція f — аналітична, то й функції g_1, \ldots, g_n у наведеній вище формулі аналітичні.

Узагальнене формулювання[ред.ред. код]

Лема Адамара може бути сформульована у загальнішій формі, коли частина змінних грає роль параметрів.

Нехай f(x,y): \R^n \times \R^m \to\R — функція класу \,C^{r}, де r \ge 1, визначена на випуклому околі U точки 0, при цьому x=(x_1, \ldots, x_n) і y=(y_1, \ldots, y_m). Тоді існують такі функції g_1(x,y), \ldots, g_n(x,y): \R^n \times \R^m \to\R класу \,C^{r-1}, визначені в U, що для всіх (x,y)\in U має місце рівність

f(x,y) = f(0,y) + \sum_{i=1}^{n} x_i\,g_i(x,y), \ \quad g_i(0,y)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0,y).

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію f(tx,y) = f(tx_1,\ldots,tx_n, y_1,\ldots,y_m), де t — додаткова дійсна змінна (параметр). Нехай t пробігає значення з відрізку [0,1], тоді функція \,f(tx,y), що розглядається як функція \R^{n+m} \to \R при кожному фіксованому значенні параметра t, пробігає в просторі функцій від n+m змінних деяку криву з кінцями \,f(0,y) и \,f(x,y).

Розглядаючи \,f(tx,y) як функцію змінної t, залежну від параметрів x \in R^n і y \in R^m, і застосувуючи формулу Ньютона—Лейбніца, можна записати:

 f(x,y) - f(0,y) = \int_{0}^{1} \frac{d f(tx,y)}{dt}\,dt = \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n} x_i \,\frac{\partial f}{\partial x_i}(tx,y)\, dt = \sum_{i=1}^{n} x_i g_i(x,y),

де

 g_i(x,y) := \int_{0}^{1} \frac{\partial f}{\partial x_i}(tx,y)\, dt.

Необхідна гладкість функцій g_i(x,y)\, випливає з відомої теореми про диференціювання інтеграла, що залежить від параметра.

Застосування[ред.ред. код]

Лема Адамара дозволяє отримати низку корисних наслідків, що знаходять застосування в різних розділах математики, в першу чергу, в теорії особливостей.

  • За допомогою леми Адамара легко доводиться Лема Морса.
  • Інший корисний наслідок леми Адамара (в її узагальненому вигляді) полягає в тому, що якщо росток гладкої функції f(x,y_1, \ldots, y_m) обертається в нуль на гіперплощині \,x=0, то його можна подати у вигляді f=x\,g(x,y_1, \ldots, y_m), де \,g — деяка гладка функція.
  • Звідси слідує, що для ростка довільної гладкої функції f(x,y_1, \ldots, y_m) має місце подання f= f_0(y_1, \ldots, y_m) + x\,g(x,y_1, \ldots, y_m), де f_0=f(0,y_1, \ldots, y_m) і \,g — гладкі функції.
  • Застосовуючи індукцію, звідси неважко отримати також загальніше представлення:
f= f_0(y_1, \ldots, y_m) + x\,f_1(y_1, \ldots, y_m) + \cdots+ x^n\,f_n(y_1, \ldots, y_m) + 
x^{n+1}\,g(x,y_1, \ldots, y_m),

де f_i(y_1, \ldots, y_m) и \,g — гладкі функції та \,n — довільне натуральне число.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Зорич В. А. Математический анализ, — Будь-яке видання.