Лема Адамара

Лема Адамара (англ. Hadamard's lemma) — твердження, що описує будову гладкої дійсної функції. Названа на честь французького математика Жака Адамара.

Нехай $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — функція класу $\,C^{r}$$\,C^{r}$, де $r\geq 1$$r\geq 1$, визначена у випуклому околі $U$$U$ точки $0$$0$. Тоді існують такі функції $g_{1},\ldots ,g_{n}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$$g_{1},\ldots ,g_{n}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ класу $\,C^{r-1}$$\,C^{r-1}$, визначені в $U$$U$, що для всіх $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in U$$x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in U$ має місце рівність $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(0)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,g_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ \quad g_{i}(0)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(0).$$f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(0)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,g_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ \quad g_{i}(0)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(0).$

Якщо функція $f$$f$ — аналітична, то й функції $g_{1},\ldots ,g_{n}$$g_{1},\ldots ,g_{n}$ у наведеній вище формулі аналітичні.

Узагальнене формулювання

Лема Адамара може бути сформульована у загальнішій формі, коли частина змінних грає роль параметрів.

Нехай $f(x,y):\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$$f(x,y):\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ — функція класу $\,C^{r}$$\,C^{r}$, де $r\geq 1$$r\geq 1$, визначена на випуклому околі $U$$U$ точки $0$$0$, при цьому $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$$x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ і $y=(y_{1},\ldots ,y_{m})$$y=(y_{1},\ldots ,y_{m})$. Тоді існують такі функції $g_{1}(x,y),\ldots ,g_{n}(x,y):\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$$g_{1}(x,y),\ldots ,g_{n}(x,y):\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ класу $\,C^{r-1}$$\,C^{r-1}$, визначені в $U$$U$, що для всіх $(x,y)\in U$$(x,y)\in U$ має місце рівність $f(x,y)=f(0,y)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,g_{i}(x,y),\ \quad g_{i}(0,y)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(0,y).$$f(x,y)=f(0,y)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,g_{i}(x,y),\ \quad g_{i}(0,y)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(0,y).$

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію $f(tx,y)=f(tx_{1},\ldots ,tx_{n},y_{1},\ldots ,y_{m})$$f(tx,y)=f(tx_{1},\ldots ,tx_{n},y_{1},\ldots ,y_{m})$, де $t$$t$ — додаткова дійсна змінна (параметр). Нехай $t$$t$ пробігає значення з відрізку $[0,1]$$[0,1]$, тоді функція $\,f(tx,y)$$\,f(tx,y)$, що розглядається як функція $\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R}$$\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R}$ при кожному фіксованому значенні параметра $t$$t$, пробігає в просторі функцій від $n+m$$n+m$ змінних деяку криву з кінцями $\,f(0,y)$$\,f(0,y)$ и $\,f(x,y)$$\,f(x,y)$.

Розглядаючи $\,f(tx,y)$$\,f(tx,y)$ як функцію змінної $t$$t$, залежну від параметрів $x\in R^{n}$$x\in R^{n}$ і $y\in R^{m}$$y\in R^{m}$, і застосувуючи формулу Ньютона—Лейбніца, можна записати:

$f(x,y)-f(0,y)=\int _{0}^{1}{\frac {df(tx,y)}{dt}}\,dt=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,y)\,dt=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x,y),$$f(x,y)-f(0,y)=\int _{0}^{1}{\frac {df(tx,y)}{dt}}\,dt=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,y)\,dt=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x,y),$

де

$g_{i}(x,y):=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,y)\,dt.$$g_{i}(x,y):=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,y)\,dt.$

Необхідна гладкість функцій $g_{i}(x,y)\,$$g_{i}(x,y)\,$ випливає з відомої теореми про диференціювання інтеграла, що залежить від параметра.

Застосування

Лема Адамара дозволяє отримати низку корисних наслідків, що знаходять застосування в різних розділах математики, в першу чергу, в теорії особливостей.

• За допомогою леми Адамара легко доводиться Лема Морса.

• Інший корисний наслідок леми Адамара (в її узагальненому вигляді) полягає в тому, що якщо росток гладкої функції $f(x,y_{1},\ldots ,y_{m})$$f(x,y_{1},\ldots ,y_{m})$ обертається в нуль на гіперплощині $\,x=0$$\,x=0$, то його можна подати у вигляді $f=x\,g(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),$$f=x\,g(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),$ де $\,g$$\,g$ — деяка гладка функція.

• Звідси слідує, що для ростка довільної гладкої функції $f(x,y_{1},\ldots ,y_{m})$$f(x,y_{1},\ldots ,y_{m})$ має місце подання $f=f_{0}(y_{1},\ldots ,y_{m})+x\,g(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),$$f=f_{0}(y_{1},\ldots ,y_{m})+x\,g(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),$ де $f_{0}=f(0,y_{1},\ldots ,y_{m})$$f_{0}=f(0,y_{1},\ldots ,y_{m})$ і $\,g$$\,g$ — гладкі функції.

• Застосовуючи індукцію, звідси неважко отримати також загальніше представлення:

$f=f_{0}(y_{1},\ldots ,y_{m})+x\,f_{1}(y_{1},\ldots ,y_{m})+\cdots +x^{n}\,f_{n}(y_{1},\ldots ,y_{m})+x^{n+1}\,g(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),$$f=f_{0}(y_{1},\ldots ,y_{m})+x\,f_{1}(y_{1},\ldots ,y_{m})+\cdots +x^{n}\,f_{n}(y_{1},\ldots ,y_{m})+x^{n+1}\,g(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),$

де $f_{i}(y_{1},\ldots ,y_{m})$$f_{i}(y_{1},\ldots ,y_{m})$ и $\,g$$\,g$ — гладкі функції та $\,n$$\,n$ — довільне натуральне число.

Див. також

• Формула Тейлора
• Лема Морса

Література

• Зорич В. А. Математический анализ, — Будь-яке видання.