Лема Адамара

Лема Адамара (англ. Hadamard's lemma) — твердження, що описує будову гладкої дійсної функції. Названа на честь французького математика Жака Адамара.

Нехай $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — функція класу $\,C^{r}$ , де $r\geq 1$ , визначена у випуклому околі $U$ точки $0$ . Тоді існують такі функції $g_{1},\ldots ,g_{n}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ класу $\,C^{r-1}$ , визначені в $U$ , що для всіх $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in U$ має місце рівність

f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(0)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,g_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ \quad g_{i}(0)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(0).

Якщо функція $f$ — аналітична, то й функції $g_{1},\ldots ,g_{n}$ у наведеній вище формулі аналітичні.

Узагальнене формулювання

Лема Адамара може бути сформульована у загальнішій формі, коли частина змінних грає роль параметрів.

Нехай $f(x,y):\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ — функція класу $\,C^{r}$ , де $r\geq 1$ , визначена на випуклому околі $U$ точки $0$ , при цьому $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ і $y=(y_{1},\ldots ,y_{m})$ . Тоді існують такі функції $g_{1}(x,y),\ldots ,g_{n}(x,y):\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ класу $\,C^{r-1}$ , визначені в $U$ , що для всіх $(x,y)\in U$ має місце рівність

f(x,y)=f(0,y)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,g_{i}(x,y),\ \quad g_{i}(0,y)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(0,y).

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію $f(tx,y)=f(tx_{1},\ldots ,tx_{n},y_{1},\ldots ,y_{m})$ , де $t$ — додаткова дійсна змінна (параметр). Нехай $t$ пробігає значення з відрізку $[0,1]$ , тоді функція $\,f(tx,y)$ , що розглядається як функція $\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R}$ при кожному фіксованому значенні параметра $t$ , пробігає в просторі функцій від $n+m$ змінних деяку криву з кінцями $\,f(0,y)$ и $\,f(x,y)$ .

Розглядаючи $\,f(tx,y)$ як функцію змінної $t$ , залежну від параметрів $x\in R^{n}$ і $y\in R^{m}$ , і застосувуючи формулу Ньютона—Лейбніца, можна записати:

f(x,y)-f(0,y)=\int _{0}^{1}{\frac {df(tx,y)}{dt}}\,dt=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,y)\,dt=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x,y),

де

g_{i}(x,y):=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,y)\,dt.

Необхідна гладкість функцій $g_{i}(x,y)\,$ випливає з відомої теореми про диференціювання інтеграла, що залежить від параметра.

Застосування

Лема Адамара дозволяє отримати низку корисних наслідків, що знаходять застосування в різних розділах математики, в першу чергу, в теорії особливостей.

За допомогою леми Адамара легко доводиться Лема Морса.

Інший корисний наслідок леми Адамара (в її узагальненому вигляді) полягає в тому, що якщо росток гладкої функції $f(x,y_{1},\ldots ,y_{m})$ обертається в нуль на гіперплощині $\,x=0$ , то його можна подати у вигляді $f=x\,g(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),$ де $\,g$ — деяка гладка функція.

Звідси слідує, що для ростка довільної гладкої функції $f(x,y_{1},\ldots ,y_{m})$ має місце подання $f=f_{0}(y_{1},\ldots ,y_{m})+x\,g(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),$ де $f_{0}=f(0,y_{1},\ldots ,y_{m})$ і $\,g$ — гладкі функції.