Лема Адамара (англ. Hadamard's lemma) — твердження, що описує будову гладкої дійсної функції. Названа на честь французького математика Жака Адамара.
Нехай — функція класу , де , визначена у випуклому околі точки . Тоді існують такі функції класу , визначені в , що для всіх має місце рівність

|
Якщо функція
— аналітична, то й функції
у наведеній вище формулі аналітичні.
Лема Адамара може бути сформульована у загальнішій формі, коли частина змінних грає роль параметрів.
Нехай — функція класу , де , визначена на випуклому околі точки , при цьому і .
Тоді існують такі функції класу , визначені в , що для всіх
має місце рівність

|
Доведення.
Розглянемо допоміжну функцію
,
де
— додаткова дійсна змінна (параметр). Нехай
пробігає значення з відрізку
, тоді функція
, що розглядається як функція
при кожному фіксованому значенні параметра
, пробігає в просторі функцій від
змінних деяку криву з кінцями
и
.
Розглядаючи
як функцію змінної
, залежну від параметрів
і
, і застосувуючи формулу Ньютона—Лейбніца, можна записати:

де

Необхідна гладкість функцій
випливає з відомої теореми про диференціювання інтеграла, що залежить від параметра.
Лема Адамара дозволяє отримати низку корисних наслідків, що знаходять застосування в різних розділах математики, в першу чергу, в теорії особливостей.
- За допомогою леми Адамара легко доводиться Лема Морса.
- Інший корисний наслідок леми Адамара (в її узагальненому вигляді) полягає в тому, що якщо росток гладкої функції
обертається в нуль на гіперплощині
, то його можна подати у вигляді
де
— деяка гладка функція.
- Звідси слідує, що для ростка довільної гладкої функції
має місце подання
де
і
— гладкі функції.
- Застосовуючи індукцію, звідси неважко отримати також загальніше представлення:

де
и
— гладкі функції та
— довільне натуральне число.