Формула Ньютона — Лейбніца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розділи в Математичному аналізі
Фундаментальна теорема
Границя функції
Неперервність
Теорема Лагранжа

Нехай функція неперервна на відрізку [а, b] і відома її первісна , тоді визначений інтеграл від функції можна обчислити за формулою:

Ця формула називається формулою Ньютона—Лейбніца. Іноді її називають основною формулою інтегрального числення. Для скорочення запису часто застосовується позначення:

Формула Ньютона-Лейбніца для обчислення визначеного інтегралу є узагальненням методу Архімеда для обчислення площ і поверхонь плоских, криволінійних поверхонь, об'ємів тіл, довжин кривих та інших задач.

Але в багатьох випадках первісна функція не може бути знайдена за допомогою елементарних засобів або є занадто складною, що робить неможливим обчислення визначеного інтеграла за цією формулою. В таких випадках користуються чисельнимим методами обчислення визначених інтегралів.

Формальні твердження[ред.ред. код]

Існує дві частини теореми. Інакше кажучи, перша частина оперує з похідними первісних, тоді як друга частина має справу зі зв'язком між первісною і визначеним інтегралом.

Перша частина[ред.ред. код]

Ця частина іноді згадується як перша фундаментальна теорема інтегрального числення.[1]

Нехай f буде неперервною дійсно-значимою функцією на закритому проміжку [a, b]. Нехай F буде функцією визначеною, для всіх x у [a, b], через

Тоді, F є неперервною на [a, b], диференційовною на відкритому інтервалі (a, b), і

для всіх x з (a, b).

Наслідок[ред.ред. код]

Фундаментальну теорему часто використовують для обчислення визначеного інтегралу функції f для якої відома первісна F. Конкретно, якщо f є дійсно-значимою неперервною функцію на [a, b], і F її первісна f у [a, b], тоді

Цей наслідок припускає неперервність на всьому інтервалі. Цей вислід злегка посилюється наступною частиною теореми.

Друга частина[ред.ред. код]

Ця частина іноді згадується як друга фундаментальна теорема інтегрального числення[2] або формула Ньютона — Лейбніца (англ. Newton–Leibniz axiom).

Нехай f і F будуть дійсно-значимими функціями визначеними на закритому проміжку [a, b] такі, що похідна F є f. Тобто f і F — це функції такі, що для всіх x з [a, b],

Якщо f є інтегровною за Риманом на [a, b] тоді

Друга частина є почасти сильнішою від Наслідку, бо вона не вимагає неперервності f.

Коли існує первісна F, тоді існує нескінченно багато первісних для f, отримуваних додаванням до F довільної сталої. Також, з першої частини теореми, первісна існує завжди, коли f неперервна.

Доведення першої частини[ред.ред. код]

Для заданої f(t), визначимо функцію F(x) як

Для двох довільних чисел x1 і x1 + Δx з [a, b], маємо

і

Відніманням отримуємо

Можна показати, що

(Сума площ двох суміжних регіонів дорівнює площі двох регіонів об'єднаних.)

Отже

Підставляємо попереднє в (1), що дає

Згідно з теоремою Лагранжа для інтегрування, існує дійсне число з [x1, x1 + Δx] таке, що

Для спрощення запису ми продовжуватимемо писати c замість але читач має усвідомлювати, що c залежить від . Підставляючи попереднє у (2) отримуємо

Ділення на Δx дає

Вираз ліворуч від знаку рівності — відношення різниць Ньютона для F у x1.

Перейдемо до границь при Δx → 0 з обох боків рівняння.

Вираз ліворуч є визначенням похідної від F у x1.

Для визначення другої границі використаємо стискну теорему. Число c лежіть у інтервалі [x1, x1 + Δx], отже x1cx1 + Δx.

Також, and

Тому, відповідно до стискної теореми,

Підставляємо в (3) і отримуємо

Функція f є неперервною в c, отже границю можна перенести в середину функції. Отже, ми маємо

Що завершує доведення.

(Leithold et al., 1996) (строге доведення ви можете знайти на http://www.imomath.com/index.php?options=438)

Доведення наслідку[ред.ред. код]

Припустимо F — первісна f, якщо f неперервна на [a, b]. Нехай

.

З першої частини теореми, ми знаємо G також первісна f. З теореми Лагранжа випливає, що існує таке число c, що G(x) = F(x) + c, для всіх x з [a, b]. Поклавши x = a, маємо

що значить c = − F(a). Інакше кажучи G(x) = F(x) − F(a), і отже

Доведення другої частини[ред.ред. код]

Доведення через суми Рімана.

Нехай f буде інтегровною за Ріманом на інтервалі [a, b], і нехай f має первісну F на [a, b]. Почнемо з величини F(b) − F(a). Нехай існують числа x1, …, xn такі, що

З цього слідує

Тепер додамо кожне F(xi) разом із зворотнім до нього щодо додавання, отже вислідна величина дорівнює:

Попереднє можна записати як таку суму:

Далі, використаємо теорему Лагранжа. Яка стверджує (коротко)

Нехай F є неперервною на замкненому відтинку [a, b] і диференційовною на відкритому інтервалі (a, b). Тоді існує деяке c з (a, b) таке, що

З цього випливає, що

Функція F диференційовна на [a, b]; отже, вона диференційовна і неперервна на кожному з інтервалів [xi−1, xi]. Згідно з теоремою Лагранжа,

Підставляючи попереднє в (1), отримуємо

Припущення означає Також, може бути виражено як відтинку .

Східна послідовність сум Рімана. Число нагорі ліворуч є повною площею голубих прямокутників. Вони сходяться до інтегралу функції

Ми описуємо площу прямокутника через добуток ширини і висоти і додаємо площі. Кожен прямокутник, знов теорема Лагранжа, є наближенням секції кривої, де він намальований. Також не обов'язково має бути однаковим для всіх i, інакше кажучи, ширина прямокутників може різнитися. Що нам потрібно зробити — приблизно задати криву через n прямокутників. Тепер, по мірі того як розмір кожного відтинку зменшується, а n збільшується, ми наближаємося до справжнього значення інтегралу кривої.

З переходом до границі, де розмір розбиття, найбільше , прямує до нуля і відповідно кількість відтинків до нескінченності, ми досягаємо інтегралу Рімана. Границя існує, бо за припущенням f інтегровна.

Отже, ми переходимо до границі з обох у (2). Маємо

Ані F(b), ні F(a) не є залежними від , тому границя зліва залишається F(b) − F(a).

Вираз праворуч визначає інтеграл f від a до b. Отже, ми отримуємо

що й завершує доведення.

Це виглядає майже так наче перша частина безпосередньо випливає з другої. Тобто, припустимо G є первісною для f. Тоді згідно з другою частиною теореми, . Тепер, припустимо . Тоді F має таку саму похідну як і G, звідси F′ = f. Однак, цей довід працює лише якщо ми знаємо, що f має первісну, а ми знаємо, що неперервні функції мають первісну лише завдяки першій частині фундаментальної теореми.[3] Наприклад, якщо f(x) = ex2, тоді f має певісну, а саме

і не існує простішого виразу для цієї функції. Саме через не треба сприймати другу частину як визначення інтеграла. І справді, існує багато функцій які інтегровні, але на мають первісної яку можна записати у вигляді елементарних функцій. І навпаки, багато функцій, що мають первісну, неінтегровні за Риманом (дивись Функція Вольтерра).

Приклади[ред.ред. код]

Задля прикладу обчислимо таке:

Тут, і ми можемо використати як первісну. Звідси

Або, загальніше, обчислимо

Тут, і можна використати як первісну. Отже

Або, тотожно,

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Апостол 1967, §5.1
  2. Апостол 1967, §5.3
  3. Spivak, Michael (1980). Calculus (вид. 2nd). Houston, Texas: Publish or Perish Inc. 

Джерела[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.