Нормальні коливання

Нормальні коливання
Формула	$\max\{\,d(x,y)x\in {\mathcal {A}},\,y\in {\mathcal {B}}\,\}$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Нормальні коливання у Вікісховищі

В загальному випадку при збудженні власних коливань (Нормальні коливання) в системах з багатьма ступенями свободи (більше або дорівнює двом) рух елементів системи не є періодичним рухом. При певних співвідношеннях між початковими відхиленнями від положення рівноваги, або початковими швидкостями їх руху в системі реалізуються особливі типи коливань— гармонічні коливання елементів системи з фіксованими фазовими співвідношеннями. Такі особливі коливальні рухи називають нормальними коливаннями або нормальними модами.

Кожне з нормальних коливань фізичної системи характеризується своєю частотою і фіксованими співвідношеннями амплітуд коливань окремих елементів системи в системах зі скінченим числом ступенів вільності. В неперервних системах (системах з нескінченним числом степенів вільності) кожне нормальне коливання характеризується власною частотою та відповідною формою коливань. Набір частот нормальних коливань складає коливний спектр системи. В загальному випадку кількість таких нормальних коливань збігається з числом ступенів вільності в системі. Важливе значення нормальних коливань в системі полягає в тому, що вільний рух системи при будь-яких початкових умовах представляється сумою (суперпозицією) нормальних коливань з відповідно підібраними амплітудами.

Нормальні коливання в системах з двома ступенями свободи

Механічна система або електричний контур з двома ступенями свободи є найпростішими системами на прикладі яких можна показати основні властивості нормальних коливань. Розглянемо конкретну модель механічної системи з двома ступенями вільності, що включає дві жорсткі маси $m_{1}$ та $m_{2}$, з'єднані невагомими пружинами з жорсткостями $k_{1},k_{2},k_{3}$. Рух системи описується двома функціями $x_{1}(t)$ та $x_{2}(t)$.

Типова модель механічної системи з двома ступенями вільності. Маси ковзають по опорній поверхні без тертя.

Необхідні для дослідження вільних рухів в такій системі диференціальні рівняння записуються безпосередньо з використанням другого закону Ньютона і мають вигляд

$m_{1}{\ddot {x_{1}}}+(k_{1}+k_{2})x_{1}-k_{2}x_{2}=0,$

$m_{2}{\ddot {x_{2}}}+(k_{2}+k_{3})x_{2}-k_{2}x_{1}=0.$

Ці рівняння часто представляють у вигляді

${\ddot {x_{1}}}+\omega _{1}^{2}x_{1}-{\frac {k_{2}}{m_{1}}}x_{2}=0$

${\ddot {x_{2}}}+\omega _{2}^{2}x_{2}-{\frac {k_{2}}{m_{2}}}x_{1}=0.$

Такий запис рівнянь руху має певне фізичне підгрунття. Тут вказано на дві специфічні частотні характеристики $\omega _{1}$ та $\omega _{2}$. Очевидно, що це є власні частоти двох систем з одним ступенем вільності, які можна одержати із системи, що розглядається, позбавляючи можливості рухатися одну із мас в системі. Так утворені системи з меншим числом ступенів вільності називаються парціальними системами, Відповідно, частоти $\omega _{1}$ та $\omega _{2}$ називаються парціальними частотами вихідної коливальної системи.

Для пошуку можливих періодичних рухів в коливальній системі представимо зміщення мас в вигляді $x_{1}(t)=A\cos(\omega t),x_{2}(t)=B\cos(\omega t)$. Після підстановки таких пробних виразів в диференціальні рівняння руху одержуємо систему двох однорідних рівнянь для амплітудних характеристик $A$ та $B$. Існування відмінних від нуля величин амплітуд коливань можливо лише в тому випадку, коли визначник цієї системи дорівнює нулеві. Саме ця умова дає рівняння для визначення значень частот можливих періодичних рухів в системі.

$(\omega _{1}^{2}-\omega ^{2})(\omega _{2}^{2}-\omega ^{2})-\mu ^{4}=0,$ (1)

$\mu ^{4}={\frac {k_{2}^{2}}{m_{1}m_{2}}}$

Аналіз рівняння (1) показує, що воно завжди має два корені відносно величини $\omega ^{2}$. Якщо, для визначеності, прийняти, що $\omega _{1}<\omega _{2}$ то одна із частот нормальних коливань буде завжди меншою ніж $\omega _{1}$, а друга завжди більшою ніж $\omega _{2}$. Це загальне правило відносно співвідношення величин частот парціальних систем і частот нормальних коливань власних частот коливальної ситсеми.Тому часто частоти нормальних коливань системи з двома ступенями вільності позначають, як $\omega _{-}$ та $\omega _{+}$.Для відомих частот нормальних коливань з рівнянь руху випливають наступні співвідношення між амплітудними коефіцієнтами в виразах для $x_{1}(t)$ та $x_{2}(t)$

$B_{+}={\frac {m_{2}}{k_{2}}}A_{+}(\omega _{2}^{2}-\omega _{+}^{2}),B_{-}={\frac {m_{2}}{k_{2}}}A_{-}(\omega _{1}^{2}-\omega _{-}^{2}).$

Таким чином в дослідженій системі можуть реалізуватися два нормальні коливання

$x_{1}^{+}(t)=A_{+}\cos(\omega _{+}t),x_{2}^{+}(t)=A_{+}{\frac {m_{2}}{k_{2}}}(\omega _{2}^{2}-\omega _{+}^{2})\cos(\omega _{+}t)$

(2)

$x_{1}^{-}(t)=A_{-}\cos(\omega _{-}t),x_{2}^{-}(t)=A_{-}{\frac {m_{2}}{k_{2}}}(\omega _{1}^{2}-\omega _{-}^{2})\cos(\omega _{-}t)$

В цих виразах мається дві довільні сталі $A_{+},A_{-}$. Тому за загальною теорією звичайних диференціальних рівнянь представлення

$x_{1}(t)=x_{1}^{+}(t)+x_{1}^{-}(t),$

$x_{2}(t)=x_{2}^{+}(t)+x_{2}^{-}(t)$

є загальним розв'язком рівнянь руху. Вибором значень довільних сталих в ньому можна задовольнити довільним початковим умовам в випадку вільних коливань системи з двома ступенями вільності. Більш детально з конкретними прикладами механічних та електричних систем з двома степенями вільності та властивостями їх коливань можна познайомитися в підручнику При аналізі вільних коливань величини $A_{+},A_{-}$ залишаються не визначеними. Однак, властивості нормальних частот дозволяють зробити загальний висновок відносно характеру руху мас в кожному нормальному коливанні. Оскільки завжди $\omega _{-}<\omega _{1}$, то з першого виразу в (2) випливає, що зміщення мас від положення рівноваги в цьому нормальному коливанні (з меншою власною частотою) завжди мають однакові знаки, т.б. маємо синфазний рух мас. Із другого виразу в (2), оскільки завжди $\omega _{+}>\omega _{2}$, випливає, що зміщення мас в другому нормальному коливанні завжди мають протилежні знаки. Коливання відбуваються в протифазі.

Нормальні коливання в молекулах

Загальна теорія

Потенціальна енергія взаємодії атомів у молекулах є певною функцією їхніх координат $U(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{i},\ldots ,\mathbf {r} _{N})$. Ця функція загалом розраховується із квантової механіки в адіабатичному наближенні або задається певними модельними потенціалами. Рівноважні положення атомів у молекулах $\mathbf {r} _{i0}$ задаються умовою мінімуму цієї функції

${\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0$.

Якщо вивести молекулу з рівноваги так, що кожен атом зміститься на якусь величину $\delta \mathbf {r} _{i}$, то у молекулі виникнуть сили, які намагатимуться повернути атоми в положення рівноваги, а потенціальна енергія зросте і стане рівною

$U(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{i},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=U_{0}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{N}\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}a_{ij}^{\alpha \beta }\delta r_{i}^{\alpha }\delta r_{j}^{\beta }$,

де і та j — індекси атомів, α та β — індекси осей координат, $U_{0}$ — потенціальна енергія молекули в положенні рівноваги, а коефіцієнти $a_{ij}^{\alpha \beta }$ визначаються розкладом потенціальної енергії в ряд Тейлора в околі положення рівноваги.

$a_{ij}^{\alpha \beta }=\left.{\frac {\partial ^{2}U}{\partial r_{i}^{\alpha }\partial r_{j}^{\beta }}}\right|_{\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i0}}+\left.{\frac {\partial ^{2}U}{\partial r_{i}^{\alpha }\partial r_{i}^{\beta }}}\right|_{\mathbf {r} _{j}=\mathbf {r} _{i0}}$

Рівняння руху для зміщень атомів з положення координат мають такий вигляд:

$m_{i}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\delta r_{i}^{\alpha }=-\sum _{j=1}^{N}\sum _{\beta =1}^{3}a_{ij}^{\alpha \beta }\delta r_{j}^{\beta }$,

де $m_{i}$ — маса i-того атому.

Шукаючи розв'язки системи диференційних рівнянь у вигляді

$\delta r_{i}^{\alpha }=b_{i}^{\alpha }e^{i\omega t}$,

отримуємо систему лінійних рівнянь

$m_{i}\omega ^{2}b_{i}^{\alpha }-\sum _{j=1}^{N}\sum _{\beta =1}^{3}a_{ij}^{\alpha \beta }b_{j}^{\beta }=0.\qquad ({\text{A}})$

Усього таких рівнянь 3N -6, де N — число атомів. 3 інші рівняння описують рух центру маси молекули, а ще три — обертання молекули, як цілого. Система однорідна, а отже має нетривіальні розв'язки лише при певних частотах, які знаходяться, якщо прирівняти нулю детермінант цієї системи

$\left|m_{i}\omega ^{2}\delta _{ij}\delta _{\alpha \beta }-a_{ij}^{\alpha \beta }\right|=0$,

де $\delta _{ij}$ — символ Кронекера.

Цей детермінант є рівнянням (3N-6)-го степеня відносно ω², яке називається віковим або секулярним рівнянням. Його корені визначають спектр власних частот коливань молекули.

Власні вектори $\mathbf {b} _{i}$ рівняння (A) визначають 3N -6 нормальні моди коливань молекули.

Нормальні моди взаємно лінійно незалежні й взаємно ортогональні:

$\sum _{i=1}^{N}\mathbf {b} _{i}^{m}\cdot \mathbf {b} _{i}^{n}=0$,

якщо $m\neq n$, де m та n — індекси, якими позначені різні власні вектори. Саме цій особливості нормальні моди завдячують своєю назвою.

Приклад

Нормальні моди мурашиної кислоти зображені на серії рисунків

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Стрілки вказують напрям руху атомів при коливаннях. Усього нормальних мод дев'ять, оскільки молекула має 5 атомів.

Дипольний момент

Якщо відомі нормальні моди, які задаються векторами $\mathbf {b} _{i}^{n}$, де індекс n — це номер моди, а також часткові заряди атомів у молекулах то можна утворити вектори:

$\mathbf {d} ^{n}=\sum _{i}q_{i}\mathbf {b} _{i}^{n}$,

які називаються дипольними моментами нормальних мод.

У зовнішньому електричному полі, наприклад, у полі електромагнітної хвилі, енергія диполя визначається формулою $\mathbf {E} \cdot \mathbf {d}$. Тому ті нормальні моди, які мають значний дипольний момент сильно взаємодіють з електромагнітними хвилями (зазвичай інфрачервоного діапазону). Ті нормальні моди, для яких дипольного моменту немає, або він малий, не поглинають і не випромінюють інфрачервоні хвилі.

Наприклад, симетрична молекула O₂ не має часткового заряду на своїх атомах, тож кисень у атмосфері не стає на заваді розповсюдженню інфрачервоних хвиль. У молекулі CO₂ атоми кисню дещо відтягують електрони до себе від центрального атома карбону, тому всі три атоми мають невеличкий частковий заряд. У молекули вуглекислого газу (вона лінійна) є три нормальні моди. Одна із них — це симетричні коливання атомів кисню вздовж осі молекули. Ця мода не має дипольного моменту. Інша мода коливань — асиметричні коливання атомів кисню вздовж осі молекули має дипольний момент, як і третя мода, в якій молекула згинається.

Джерела

• Федорченко А.М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.