Нормальні коливання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В загальному випадку при збудженні власних коливань в системах з багатьма ступенями вільності (більше або дорівнює двом) рух елементів системи не є періодичним рухом. При певних співвідношеннях між початковими відхиленнями від положення рівноваги, або початковими швидкостями їх руху в системі реалізуються особливі типи коливань— гармонічні коливання елементів системи з фіксованими фазовими співвідношеннями. Такі особливі коливальні рухи називають Нормальними коливаннями або нормальними модами. Кожне з нормальних коливань фізичної системи характеризується своєю частотою і фіксованими співвідношеннями амплітуд коливань окремих елементів системи в системах зі скінченим числом ступенів вільності. В неперервних системах (системах з нескінченним числом степенів вільності) кожне нормальне коливання характеризується власною частотою та відповідною формою коливань. Набір частот нормальних коливань складає коливний спектрсистеми. В загальному випадку кількість таких нормальних коливань збігається з числом ступенів вільності в системі. Важливе значення нормальних коливань в системі полягає в тому, що вільний рух системи при будь-яких початкових умовах представляється сумою (суперпозицією) нормальних коливань з відповідно підібраними амплітудами.

Нормальні коливання в системах з двома ступенями вільності[ред.ред. код]

Механічна система або електричний контур з двома ступенями вільності є найпростішими системами на прикладі яких можна показати основні властивості нормальних коливань. Розглянемо конкретну модель механічної системи з двома ступенями вільності, що включає дві жорсткі маси та , з'єднані невагомими пружинами з жорсткостями . Рух системи описується двома функціями та .

Типова модель механічної системи з двома ступенями вільності. Маси ковзають по опорній поверхні без тертя.

Необхідні для дослідження вільних рухів в такій системі диференціальні рівняння записуються безпосередньо з використанням другого закону Ньютона і мають вигляд[1]

Ці рівняння часто представляють у вигляді

Такий запис рівнянь руху має певне фізичне підгрунття. Тут вказано на дві специфічні частотні характеристики та . Очевидно, що це є власні частоти двох систем з одним ступенем вільності, які можна одержати із системи, що розглядається, позбавляючи можливості рухатися одну із мас в системі. Так утворені системи з меншим числом ступенів вільності називаються парціальними системами, Відповідно, частоти та називаються парціальними частотами вихідної коливальної системи.

Для пошуку можливих періодичних рухів в коливальній системі представимо зміщення мас в вигляді . Після підстановки таких пробних виразів в диференціальні рівняння руху одержуємо систему двох однорідних рівнянь для амплітудних характеристик та . Існування відмінних від нуля величин амплітуд коливань можливо лише в тому випадку, коли визначник цієї системи дорівнює нулеві. Саме ця умова дає рівняння для визначення значень частот можливих періодичних рухів в системі.

(1)

Аналіз рівняння (1) показує, що воно завжди має два корені відносно величини . Якщо, для визначеності, прийняти, що то одна із частот нормальних коливань буде завжди меншою ніж , а друга завжди більшою ніж . Це загальне правило відносно співвідношення величин частот парціальних систем і частот нормальних коливань. Тому часто частоти нормальних коливань системи з двома ступенями вільності позначають, як та .Для відомих частот нормальних коливань з рівнянь руху випливають наступні співвідношення між амплітудними коефіцієнтами в виразах для та

Таким чином в дослідженій системі можуть реалізуватися два нормальні коливання

(2)

В цих виразах мається дві довільні сталі . Тому згідно загальної теорії звичайних диференціальних рівнянь представлення

є загальним розв'язком рівнянь руху. Вибором значень довільних сталих в ньому можна задовольнити довільним початковим умовам в випадку вільних коливань системи з двома ступенями вільності. Більш детально з конкретними прикладами механічних та електричних систем з двома степенями вільності та властивостями їх коливань можна познайомитися в підручнику[2] При аналізі вільних коливань величини залишаються не визначеними. Однак, властивості нормальних частот дозволяють зробити загальний висновок відносно характеру руху мас в кожному нормальному коливанні. Оскільки завжди , то з першого виразу в (2) випливає, що зміщення мас від положення рівноваги в цьому нормальному коливанні (з меншою власною частотою) завжди мають однакові знаки, т.б. маємо синфазний рух мас. Із другого виразу в (2), оскільки завжди , випливає, що зміщення мас в другому нормальному коливанні завжди мають протилежні знаки. Коливання відбуваються в протифазі.

Стоячі хвилі в резонаторах[ред.ред. код]

Моди хвилеводів[ред.ред. код]

Нормальні коливання в молекулах[ред.ред. код]

Загальна теорія[ред.ред. код]

Потенціальна енергія взаємодії атомів у молекулах є певною функцією їхніх координат . Ця функція загалом розраховується із квантової механіки в адіабатичному наближенні або задається певними модельними потенціалами. Рівноважні положення атомів у молекулах задаються умовою мінімуму цієї функції

.

Якщо вивести молекулу з рівноваги так, що кожен атом зміститься на якусь величину , то у молекулі виникнуть сили, які намагатимуться повернути атоми в положення рівноваги, а потенціальна енергія зросте і стане рівною

,

де і та j — індекси атомів, α та β — індекси осей координат,  — потенціальна енергія молекули в положенні рівноваги, а коефіцієнти визначаються розкладом потенціальної енергії в ряд Тейлора в околі положення рівноваги.

Рівняння руху для зміщень атомів з положення координат мають такий вигляд:

,

де  — маса i-того атому.

Шукаючи розв'язки системи диференційних рівнянь у вигляді

,

отримуємо систему лінійних рівнянь

Усього таких рівнянь 3N -6, де N — число атомів. 3 інші рівняння описують рух центру маси молекули, а ще три — обертання молекули, як цілого[3]. Система однорідна, а отже має нетривіальні розв'язки лише при певних частотах, які знаходяться, якщо прирівняти нулю детермінант цієї системи

,

де  — символ Кронекера.

Цей детермінант є рівнянням (3N-6)-го степеня відносно ω2, яке називається віковим або секулярним рівнянням. Його корені визначають спектр власних частот коливань молекули.

Власні вектори рівняння (A) визначають 3N -6 нормальні моди коливань молекули.

Нормальні моди взаємно лінійно незалежні й взаємно ортогональні:

,

якщо , де m та n — індекси, якими позначені різні власні вектори. Саме цій особливості нормальні моди завдячують своєю назвою.

Приклад[ред.ред. код]

Нормальні моди мурашиної кислоти зображені на серії рисунків

Стрілки вказують напрям руху атомів при коливаннях. Усього нормальних мод дев'ять, оскільки молекула має 5 атомів.

Дипольний момент[ред.ред. код]

Якщо відомі нормальні моди, які задаються векторами , де індекс n — це номер моди, а також часткові заряди атомів у молекулах то можна утворити вектори:

,

які називаються дипольними моментами нормальних мод.

У зовнішньому електричному полі, наприклад, у полі електромагнітної хвилі, енергія диполя визначається формулою . Тому ті нормальні моди, які мають значний дипольний момент сильно взаємодіють з електромагнітними хвилями (зазвичай інфрачервоного діапазону). Ті нормальні моди, для яких дипольного моменту немає, або він малий, не поглинають і не випромінюють інфрачервоні хвилі.

Наприклад, симетрична молекула O2 не має часткового заряду на своїх атомах, тож кисень у атмосфері не стає на заваді розповсюдженню інфрачервоних хвиль. У молекулі CO2 атоми кисню дещо відтягують електрони до себе від центрального атома карбону, тому всі три атоми мають невеличкий частковий заряд. У молекули вуглекислого газу (вона лінійна) є три нормальні моди. Одна із них — це симетричні коливання атомів кисню вздовж осі молекули. Ця мода не має дипольного моменту. Інша мода коливань — асиметричні коливання атомів кисню вздовж осі молекули має дипольний момент, як і третя мода, в якій молекула згинається.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Грінченко В. Т., . Вовк І. В., Маципура В. Т. Основи акустики: Навчальний посібник. — К.: Наукова думка, 2007. — 640 с. — ISBN 978-966-00-0622-5.
  2. Анісімов І. О.Коливання та хвилі. Навчальний посібник.—К: Академпрес,2003.—280 с.ISBN 966-7541-25-8.
  3. Для двохатомних молекул число рівнянь дорівнює 1, бо обертання можливе лише навколо двох осей.

Джерела[ред.ред. код]

  • Федорченко А.М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.