Нормальні коливання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нормальні коливання або нормальні моди - набір характерних для коливної системи типів гармонічних коливань.

Кожне з нормальних коливань фізичної системи, наприклад, коливань атомів у молекулах, характеризується своєю частотою. Набір частот нормальних коливань складає коливний спектр.

Довільне коливання фізичної системи можна подати у вигляді суперпозиції нормальних коливань.

Вимушені коливання фізичної системи мають резонанс на частотах, які збігаються з частотами нормальних коливань.

Стоячі хвилі в резонаторах[ред.ред. код]

Моди хвилеводів[ред.ред. код]

Нормальні коливання в молекулах[ред.ред. код]

Загальна теорія[ред.ред. код]

Потенціальна енергія взаємодії атомів у молекулах є певною функцією їхніх координат . Ця функція загалом розраховується із квантової механіки в адіабатичному наближенні або задається певними модельними потенціалами. Рівноважні положення атомів у молекулах задаються умовою мінімуму цієї функції

.

Якщо вивести молекулу з рівноваги так, що кожен атом зміститься на якусь величину , то у молекулі виникнуть сили, які намагатимуться повернути атоми в положення рівноваги, а потенціальна енергія зросте і стане рівною

,

де і та j - індекси атомів, α та β - індекси осей координат, - потенціальна енергія молекули в положенні рівноваги, а коефіцієнти визначаються розкладом потенціальної енергії в ряд Тейлора в околі положення рівноваги.

Рівняння руху для зміщень атомів з положення координат мають такий вигляд:

,

де - маса i-того атому.

Шукаючи розв'язки системи диференційних рівнянь у вигляді

,

отримуємо систему лінійних рівнянь

Усього таких рівнянь 3N -6, де N - число атомів. 3 інші рівняння описують рух центру маси молекули, а ще три - обертання молекули, як цілого [1]. Система однорідна, а отже має нетривіальні розв'язки лише при певних частотах, які знаходяться, якщо прирівняти нулю детермінант цієї системи

,

де - символ Кронекера.

Цей детермінант є рівнянням (3N-6)-го степеня відносно ω2, яке називається віковим або секулярним рівнянням. Його корені визначають спектр власних частот коливань молекули.

Власні вектори рівняння (A) визначають 3N -6 нормальні моди коливань молекули.

Нормальні моди взаємно лінійно незалежні й взаємно ортогональні:

,

якщо , де m та n - індекси, якими позначені різні власні вектори. Саме цій особливості нормальні моди завдячують своєю назвою.

Приклад[ред.ред. код]

Нормальні моди мурашиної кислоти зображені на серії рисунків

Стрілки вказують напрям руху атомів при коливаннях. Усього нормальних мод дев'ять, оскільки молекула має 5 атомів.

Дипольний момент[ред.ред. код]

Якщо відомі нормальні моди, які задаються векторами , де індекс n - це номер моди, а також часткові заряди атомів у молекулах то можна утворити вектори:

,

які називаються дипольними моментами нормальних мод.

У зовнішньому електричному полі, наприклад, у полі електромагнітної хвилі, енергія диполя визначається формулою . Тому ті нормальні моди, які мають значний дипольний момент сильно взаємодіють з електромагнітними хвилями (зазвичай інфрачервоного діапазону). Ті нормальні моди, для яких дипольного моменту немає, або він малий, не поглинають і не випромінюють інфрачервоні хвилі.

Наприклад, симетрична молекула O2 не має часткового заряду на своїх атомах, тож кисень у атмосфері не стає на заваді розповсюдженню інфрачервоних хвиль. У молекулі CO2 атоми кисню дещо відтягають електрони до себе від центрального атома водню, тому всі три атоми мають невеличкий частковий заряд. У молекули вуглекислого газу (вона лінійна) є три нормальні моди. Одна із них - це симетричні коливання атомів кисню вздовж осі молекули. Ця мода не має дипольного моменту. Інша мода коливань - асиметричні коливання атомів кисню вздовж осі молекули має дипольний момент, як і третя мода, в якій молекула згинається.

Джерела[ред.ред. код]

  • Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. , 516 с.


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Для двохатомних молекул число рівнянь дорівнює 1, бо обертання можливе лише навколо двох осей.